Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
x^5-x^3+3 x-5=0,(1,2)

Passo 1

O enunciado pede mostrar que existe raiz da equação x^5 - x^3 + 3x - 5 = 0 em (1,2). Vamos usar o Teorema do Valor Médio (Intermediário), que afirma que se f é contínua em [a,b] e k é um valor entre f(a) e f(b), então existe cin(a,b) tal que f(c)=k.

Passo 2

Definimos f(x)=x^5 - x^3 + 3x - 5 e calculamos
f(1)=1^5-1^3+3cdot1-5=1-1+3-5=-2
f(2)=2^5-2^3+3cdot2-5=32-8+6-5=25

Passo 3

Como f é polinomial, ela é contínua em [1,2]. Observe que -2=f(1)<0<25=f(2).

Passo 4

Escolhemos k=0, que está entre f(1) e f(2). Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(1,2) tal que f(c)=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz cin(1,2).

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