Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão é encontrar a divergência do campo vetorial dado:
Aqui, estamos trabalhando com vetores em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a divergência nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede quão “espalhado” ou “convergente” o campo está em cada ponto. Em coordenadas esféricas, a fórmula para a divergência de um vetor
é:
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada termo da divergência separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Então, o primeiro termo é:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Então, o segundo termo é:
Passo 6
Por fim, calculamos
:
Então, o terceiro termo é:
Resposta
Agora, somando todos os termos da divergência: