Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais:
T=1r^2 cos theta ar+r sin theta cos phi atheta+cos theta aphi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão é encontrar a divergência do campo vetorial dado:
T = 1r^2 cos theta , ar + r sin theta cos phi , atheta + cos theta , aphi
Aqui, estamos trabalhando com vetores em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a divergência nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede quão “espalhado” ou “convergente” o campo está em cada ponto. Em coordenadas esféricas, a fórmula para a divergência de um vetor F = Fr ar + Ftheta atheta + Fphi aphi é:
div F = 1r^2 partialpartial r(r^2 Fr) + 1r sin theta partialpartial theta(Ftheta sin theta) + 1r sin theta partial Fphipartial phi
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo T.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo T:
Fr = 1r^2 cos theta Ftheta = r sin theta cos phi Fphi = cos theta
Agora, vamos calcular cada termo da divergência separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos 1r^2 partialpartial r(r^2 Fr):
r^2 Fr = r^2 cdot 1r^2 cos theta = cos theta partialpartial r(r^2 Fr) = partialpartial r(cos theta) = 0
Então, o primeiro termo é:
1r^2 cdot 0 = 0

Passo 5

Agora, calculamos 1r sin theta partialpartial theta(Ftheta sin theta):
Ftheta sin theta = r sin theta cos phi cdot sin theta = r sin^2 theta cos phi partialpartial theta(Ftheta sin theta) = partialpartial theta(r sin^2 theta cos phi) = r cdot 2 sin theta cos theta cos phi
Então, o segundo termo é:
1r sin theta cdot r cdot 2 sin theta cos theta cos phi = 2 cos theta cos phi

Passo 6

Por fim, calculamos 1r sin theta partial Fphipartial phi:
partial Fphipartial phi = partialpartial phi(cos theta) = 0
Então, o terceiro termo é:
1r sin theta cdot 0 = 0

Resposta

Agora, somando todos os termos da divergência:
div T = 0 + 2 cos theta cos phi + 0 = 2 cos theta cos phi

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