Uma bola é lançada para cima com velocidade 200 m / s, considerando a resistência do ar como Fr=-MKv^2. Considerando g=10 m / s 2, qual a velocidade que a bola atinge o chão ( em m / s ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que é lançada para cima com uma velocidade inicial de $ 200 , m/s $. A gente precisa considerar a resistência do ar, que é proporcional ao quadrado da velocidade, representada por $ Fr = -MKv^2 $. Além disso, a aceleração da gravidade é $ g = 10 , m/s^2 $. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade da bola quando ela voltar a bater no chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre o movimento com resistência do ar e aplicar um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na bola. Quando a bola está subindo, ela sente duas forças: a força da gravidade, que puxa para baixo, e a resistência do ar, que também age contra o movimento, ou seja, para baixo também. Já na descida, a força da gravidade está para baixo e a resistência do ar age para cima, já que o movimento é para baixo.

Passo 3

A força total que a bola sente durante a subida é a soma da força da gravidade e da resistência do ar:
Fsubida = mg + MKv^2
Durante a descida, a força total é:
Fdescida = mg - MKv^2
Aqui, $ m $ é a massa da bola, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ v $ é a velocidade da bola.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = ma $). Então, durante a subida:
F = ma
E durante a descida:
ma = mg + MKv^2
Como estamos procurando a velocidade quando a bola chega ao chão, vamos focar na descida.

Passo 5

Para achar a velocidade final na descida, precisamos considerar que a aceleração da bola será a diferença entre a força da gravidade e a resistência do ar:
a = g - MKmv^2
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona a velocidade com o tempo.

Passo 6

Resolvendo essa equação diferencial, encontramos que a velocidade da bola ao atingir o chão é igual à velocidade inicial com que foi lançada, ou seja, a resistência do ar não altera a velocidade final quando a bola retorna ao ponto de partida.

Resposta

A velocidade que a bola atinge o chão é $ 200 , m/s $.

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