Qual é a menor área de um triângulo que possui como lados, o eixo
, a reta
e uma reta que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a menor área de um triângulo cujos lados são o eixo $ x $, a reta $ y = 4x $ e uma reta que passa pelo ponto $ (4, 1) $. Para resolver isso, vamos usar noções de geometria analítica, como equações de retas e cálculo de área de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as três retas envolvidas:
- O eixo $ x $, que é a reta $ y = 0 $.
- A reta $ y = 4x $, que passa pela origem e tem inclinação de 4.
- Uma reta qualquer que passa pelo ponto $ (4, 1) $, que vamos chamar de $ y = mx + b $.
Como essa terceira reta passa por $ (4, 1) $, podemos substituir esses valores na equação para encontrar a relação entre $ m $ e $ b $:
Então, $ b = 1 - 4m $.
Passo 3
Agora, vamos determinar onde essa terceira reta intercepta o eixo $ x $ e a reta $ y = 4x $.
Para interceptar o eixo $ x $ ($ y = 0 $):
Resolvendo para $ x $:
Para interceptar a reta $ y = 4x $, igualamos as duas equações:
Passo 4
Agora, sabemos os três vértices do triângulo:
- Ponto de interseção entre $ y = 0 $ e $ y = 4x $:
. - Ponto de interseção entre $ y = 0 $ e $ y = mx + b $:
. - Ponto de interseção entre $ y = 4x $ e $ y = mx + b $:
.
Passo 5
A área de um triângulo no plano cartesiano pode ser calculada usando a fórmula:
Vamos usar como base a distância entre
e
, que é
, e como altura a distância vertical até o ponto de interseção com $ y = 4x $.
Passo 6
Calculando a área:
A altura é a coordenada $ y $ do ponto de interseção, que é $ 4 \times \frac{4m - 1}{m - 4} $:
Então, substituindo na fórmula da área:
Passo 7
Simplificando a expressão da área:
Para facilitar, podemos expandir o numerador:
Então:
Passo 8
Para encontrar a menor área, precisamos encontrar o valor de $ m $ que minimiza a função área. Vamos derivar a função em relação a $ m $ e igualar a zero para encontrar extremos.
Derivando a função:
Usando a regra do quociente:
Igualando $ A’(m) = 0 $, resolvemos para $ m $. Após simplificar, encontramos $ m = 2 $.
Resposta
A menor área do triângulo é $ 4 $ unidades de área.