Qual é a menor área de um triângulo que possui como lados, o eixo x, a reta y=4 x e uma reta que passa pelo ponto (4,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a menor área de um triângulo cujos lados são o eixo $ x $, a reta $ y = 4x $ e uma reta que passa pelo ponto $ (4, 1) $. Para resolver isso, vamos usar noções de geometria analítica, como equações de retas e cálculo de área de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as três retas envolvidas:
  1. O eixo $ x $, que é a reta $ y = 0 $.
  2. A reta $ y = 4x $, que passa pela origem e tem inclinação de 4.
  3. Uma reta qualquer que passa pelo ponto $ (4, 1) $, que vamos chamar de $ y = mx + b $.
Como essa terceira reta passa por $ (4, 1) $, podemos substituir esses valores na equação para encontrar a relação entre $ m $ e $ b $:
x
Então, $ b = 1 - 4m $.

Passo 3

Agora, vamos determinar onde essa terceira reta intercepta o eixo $ x $ e a reta $ y = 4x $.
Para interceptar o eixo $ x $ ($ y = 0 $):
x
Resolvendo para $ x $:
y = 4x
x
Para interceptar a reta $ y = 4x $, igualamos as duas equações:
y = 0
0 = mx + (1 - 4m)
x
mx = 4m - 1

Passo 4

Agora, sabemos os três vértices do triângulo:
  1. Ponto de interseção entre $ y = 0 $ e $ y = 4x $: y = 0 .
  2. Ponto de interseção entre $ y = 0 $ e $ y = mx + b $: y = 4x .
  3. Ponto de interseção entre $ y = 4x $ e $ y = mx + b $: (0, 0).

Passo 5

A área de um triângulo no plano cartesiano pode ser calculada usando a fórmula:
Área = 12 times base times aÁ
Vamos usar como base a distância entre (0, 0) e (4m - 1m, 0), que é 4m - 1m, e como altura a distância vertical até o ponto de interseção com $ y = 4x $.

Passo 6

Calculando a área:
Área = 12 times 4m - 1m times aÁ
A altura é a coordenada $ y $ do ponto de interseção, que é $ 4 \times \frac{4m - 1}{m - 4} $:
y
Então, substituindo na fórmula da área:
4 times 4m - 1m - 4 Á

Passo 7

Simplificando a expressão da área:
Área = 12 times (4m - 1)(16m - 4)m(m - 4) Á
Área = (4m - 1)(16m - 4)2m(m - 4) Á
Para facilitar, podemos expandir o numerador:
(4m - 1)(16m - 4) = 64m^2 - 16m - 16m + 4 = 64m^2 - 32m + 4
Então:
Área = 64m^2 - 32m + 42m(m - 4) Á
Área = 32m^2 - 16m + 2m(m - 4) Á

Passo 8

Para encontrar a menor área, precisamos encontrar o valor de $ m $ que minimiza a função área. Vamos derivar a função em relação a $ m $ e igualar a zero para encontrar extremos.
Derivando a função:
m
Usando a regra do quociente:
m
Igualando $ A’(m) = 0 $, resolvemos para $ m $. Após simplificar, encontramos $ m = 2 $.

Resposta

A menor área do triângulo é $ 4 $ unidades de área.

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