Determine a densidade de corrente de deslocamento associada com o campo magnético . Considere J=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar a densidade de corrente de deslocamento associada a um campo magnético específico. A matéria envolvida aqui é o eletromagnetismo, mais especificamente as equações de Maxwell. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a lei de Ampère-Maxwell e calcular o rotacional do campo magnético dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de corrente de deslocamento. Nas equações de Maxwell, a densidade de corrente total Jtotal = J + JD é a soma da corrente de condução Jtotal = JD e da corrente de deslocamento :
Mas o enunciado já nos diz que . Ou seja:
Passo 3
A lei de Ampère-Maxwell relaciona o rotacional do campo magnético nabla times H = Jtotal = JD com a densidade de corrente total:
Então, para encontrar , basta calcular o rotacional de .
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de H = A1 sin(4x) cos (omega t - beta z) ax + A2 cos(4x) sin(omega t - beta z) az . O campo magnético dado é:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) ax + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) ay + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) az
Lembrando que o rotacional em coordenadas cartesianas é:
No nosso caso, , então a expressão simplifica.
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Componente partial Hzpartial y - partial Hypartial z = partial Hzpartial y - 0 = 0 :
partial Hxpartial z - partial Hzpartial x
Porque partial Hxpartial z = A1 sin(4x) cdot (-beta) sin(omega t - beta z) = -A1 beta sin(4x) sin(omega t - beta z) não depende de partial Hzpartial x = A2 cdot (-4 sin(4x)) sin(omega t - beta z) = -4 A2 sin(4x) sin(omega t - beta z) .
Componente partial Hxpartial z - partial Hzpartial x = -A1 beta sin(4x) sin(omega t - beta z) - (-4 A2 sin(4x) sin(omega t - beta z)) = (-A1 beta + 4 A2) sin(4x) sin(omega t - beta z) :
partial Hypartial x - partial Hxpartial y = 0 - 0 = 0
Vamos calcular cada derivada:
Então:
Componente :
Passo 6
Portanto, o rotacional de nabla times H = [ 0 ] ax + [ (-A1 beta + 4 A2) sin(4x) sin(omega t - beta z) ] ay + [ 0 ] az é:
nabla times H = (-A1 beta + 4 A2) sin(4x) sin(omega t - beta z) ay
Ou seja:
Passo 7
Como vimos no Passo 3, a densidade de corrente de deslocamento JD = (-A1 beta + 4 A2) sin(4x) sin(omega t - beta z) ay é igual a . Portanto:
Resposta
A densidade de corrente de deslocamento é
JD = (-A1 beta + 4 A2) sin(4x) sin(omega t - beta z) , ay