Leia:
4
Leia:
Resolver para
e
Leia:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos um sistema de equações diferenciais que descreve como duas variáveis, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, mudam ao longo do tempo. O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais, especificamente sistemas de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de integração e entender como as condições iniciais influenciam as soluções.
Passo 2
Dado que $ u(t) = 0 $, podemos simplificar a segunda equação do sistema:
Isso significa que a derivada de $ x_2(t) $ em relação ao tempo é zero, ou seja, $ x_2(t) $ não muda com o tempo. Portanto, $ x_2(t) $ permanece constante e igual ao valor inicial $ x_2(0) = x_2 $.
Passo 3
Agora que sabemos que $ x_2(t) = x_2 $, podemos usar essa informação para resolver a primeira equação do sistema:
Como $ x_2 $ é constante, essa equação se simplifica para uma derivada constante:
Passo 4
Para encontrar $ x_1(t) $, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x_1(t) $, e a do lado direito é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Utilizamos a condição inicial $ x_1(0) = x_1 $ para encontrar o valor de $ C $:
Portanto, a solução para $ x_1(t) $ é:
Resposta
As soluções para o sistema são: