Leia:
dotx1(t)=-1(x2(t))^2 dotx2(t)=u(t) x1(t)
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Leia: Resolver para u(t)=0, x1(0)=x1 e x2(0)=x2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos um sistema de equações diferenciais que descreve como duas variáveis, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, mudam ao longo do tempo. O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais, especificamente sistemas de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de integração e entender como as condições iniciais influenciam as soluções.

Passo 2

Dado que $ u(t) = 0 $, podemos simplificar a segunda equação do sistema:
u(t) = 0
Isso significa que a derivada de $ x_2(t) $ em relação ao tempo é zero, ou seja, $ x_2(t) $ não muda com o tempo. Portanto, $ x_2(t) $ permanece constante e igual ao valor inicial $ x_2(0) = x_2 $.

Passo 3

Agora que sabemos que $ x_2(t) = x_2 $, podemos usar essa informação para resolver a primeira equação do sistema:
x2(t) = x2
Como $ x_2 $ é constante, essa equação se simplifica para uma derivada constante:
dotx1(t) = -1(x2(t))^2 = -1x2^2

Passo 4

Para encontrar $ x_1(t) $, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
x1(t)
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x_1(t) $, e a do lado direito é:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Utilizamos a condição inicial $ x_1(0) = x_1 $ para encontrar o valor de $ C $:
x1(0) = x1
Portanto, a solução para $ x_1(t) $ é:
C

Resposta

As soluções para o sistema são:
x1(t) = x1 - tx2^2
x2(t) = x2

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