Uma bola é lançada para cima com velocidade v, de uma altura h acima do solo. Mostre que o tempo que a bola leva para atingir o solo é t=vg(1+raiz1+2 h gv^2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é lançada para cima com uma velocidade inicial v, a partir de uma altura h acima do chão. Queremos descobrir quanto tempo ela leva para atingir o solo. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, mais especificamente a equação da posição no movimento vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a posição da bola em função do tempo. No movimento vertical, a posição y(t) da bola pode ser descrita pela equação:
y(t) = h + v t - 12 g t^2
Aqui:
  • h é a altura inicial de onde a bola é lançada.
  • v t é a contribuição da velocidade inicial ao longo do tempo.
  • 12 g t^2 é a aceleração devida à gravidade que está atuando contra o movimento da bola.

Passo 3

Queremos saber quando a bola vai atingir o solo, ou seja, quando a posição y(t) for igual a zero:
0 = h + v t - 12 g t^2
Essa é uma equação quadrática na forma:
12 g t^2 - v t - h = 0

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde, no nosso caso:
  • a = 12 g
  • b = -v
  • c = -h

Passo 5

Substituindo os valores de a, b e c na fórmula:
t = -(-v) pm raiz(-v)^2 - 4 cdot 12 g cdot (-h)2 cdot 12 g
Simplificando:
t = v pm raizv^2 + 2 g hg

Passo 6

Como estamos lidando com tempo, descartamos a solução negativa e ficamos com:
t = v + raizv^2 + 2 g hg
Podemos fatorar v dentro da raiz para deixar a expressão mais elegante:
t = vg (1 + raiz1 + 2 g hv^2)

Resposta

O tempo que a bola leva para atingir o solo é:
t = vg(1 + raiz1 + 2 h gv^2)

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