Uma conta de massa
é jogada com uma velocidade
da posição
, em um fio parabólico infinito e sem atrito e de equação:
, com
.
Escreva a velocidade da conta ao passar pela origem em função de
e dos outros dados do problema e calcule a força resultante que a conta sofre neste instante, se o raio de curvatura da parábola, na origem, é igual a
.
Escreva a velocidade da conta ao passar pela origem em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma conta de massa $ m $ que é lançada com uma velocidade inicial $ v_0 $ a partir da posição $ x = c > 0 $ em um fio parabólico sem atrito, dado pela equação $ y(x) = a x^{2} $, onde $ a > 0 $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da conta quando ela passa pela origem em função de $ a $, $ c $ e outros dados do problema. Além disso, precisamos calcular a força resultante que a conta sofre nesse instante, sabendo que o raio de curvatura da parábola na origem é $ r = \frac{1}{2a} $. Vamos usar conceitos de conservação de energia e força centrípeta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação de energia para encontrar a velocidade da conta na origem. Como não há atrito, a energia mecânica total se conserva. A energia inicial é composta pela energia cinética e potencial na posição $ x = c $, e a energia final é apenas a energia cinética na origem, já que $ y = 0 $ lá.
A energia cinética inicial é $ \frac{1}{2} m v_0^{2} $ e a energia potencial gravitacional inicial é $ m g y© = m g a c^{2} $. Na origem, a altura $ y = 0 $, então a energia potencial é zero, e a energia cinética é $ \frac{1}{2} m v^{2} $, onde $ v $ é a velocidade na origem que queremos encontrar.
Então, pela conservação de energia:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ v $. Primeiro, simplificamos os termos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Então, isolando $ v $:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade na origem, vamos calcular a força centrípeta que a conta sofre nesse instante. A força centrípeta é necessária para manter a trajetória circular da conta naquele ponto, e é dada por:
onde $ r $ é o raio de curvatura da parábola na origem, que nos foi dado como $ r = \frac{1}{2a} $.
Passo 5
Substituindo $ v $ e $ r $ na expressão da força centrípeta:
Resposta
A velocidade da conta ao passar pela origem é:
E a força resultante que a conta sofre nesse instante é: