Uma função potencial é dada por:
. Determine o campo de forças associado a este potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função potencial $ V(x, y, z) = x e^{-z} + y e^{-x} + z e^{-y} - \pi $ e pede para determinar o campo de forças associado a esse potencial. Isso cai no conteúdo de campo de forças e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente dessa função potencial, que envolve derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o campo de forças $ \mathbf{F} $ associado a um potencial $ V $ é dado por:
O símbolo $ \nabla V $ representa o gradiente de $ V $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ V $ em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ V $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o gradiente $ \nabla V $:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a relação $ \mathbf{F} = -\nabla V $ para encontrar o campo de forças:
Resposta
O campo de forças associado ao potencial dado é: