Uma função potencial é dada por: V(x, y, z)=x e^-z+y e^-x+z e^-y-pi. Determine o campo de forças associado a este potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função potencial $ V(x, y, z) = x e^{-z} + y e^{-x} + z e^{-y} - \pi $ e pede para determinar o campo de forças associado a esse potencial. Isso cai no conteúdo de campo de forças e gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente dessa função potencial, que envolve derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o campo de forças $ \mathbf{F} $ associado a um potencial $ V $ é dado por:
F
O símbolo $ \nabla V $ representa o gradiente de $ V $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ V $ em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ V $:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
V
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
partial Vpartial x = partialpartial x ( x e^-z + y e^-x + z e^-y - pi ) = e^-z + y (-e^-x) + 0 = e^-z - y e^-x

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o gradiente $ \nabla V $:
nabla V

Passo 5

Finalmente, aplicamos a relação $ \mathbf{F} = -\nabla V $ para encontrar o campo de forças:
F = -nabla V

Resposta

O campo de forças associado ao potencial dado é:
F = ( -e^-z + y e^-x, -e^-x + z e^-y, x e^-z - e^-y )

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