Uma escada A B de comprimento a descansa sobre uma parede vertical A O. O pé B da escada é puxado para fora com velocidade constante v0.
mostre que o ponto médio da escada descreve um arco de circunferência de raio a/2 e com centro em O .

Passo 1

Então, a gente tem uma escada de comprimento $ a $ apoiada numa parede vertical $ AO $. O pé da escada, que é o ponto $ B $, está sendo puxado para fora com uma velocidade constante $ v_0 $. A nossa missão aqui é mostrar que o ponto médio da escada está se movendo ao longo de um arco de circunferência com raio $ \frac{a}{2} $ e com o centro em $ O $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e movimentos relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação. Imagine a parede vertical $ AO $ e a escada $ AB $ encostada nela, formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Quando o pé $ B $ da escada se move para fora, a escada inclina-se, e o ponto médio $ M $ da escada também se desloca.

Passo 3

Vamos determinar a posição do ponto médio $ M $ em relação ao ponto $ O $. Sabemos que a escada tem comprimento $ a $, então a distância de $ A $ a $ M $ é $ \frac{a}{2} $. À medida que a escada se move, a trajetória de $ M $ deve manter essa distância constante de $ O $, formando um círculo.

Passo 4

Para confirmar isso matematicamente, consideramos que a velocidade do pé $ B $ é constante. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por $ AO $, $ BO $ e $ AB $, vemos que a variação nas posições de $ A $ e $ B $ mantém a distância do ponto médio $ M $ constante em $ \frac{a}{2} $. Isso significa que $ M $ está sempre a $ \frac{a}{2} $ de $ O $, descrevendo assim um arco de circunferência com esse raio.

Resposta

Portanto, o ponto médio da escada está se movendo ao longo de um arco de circunferência com raio $ \frac{a}{2} $ e centro em $ O $.

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