Em uma determinada região limitada do espaço, existe o seguinte campo de forças dado por: F=-y^2 z^3 i-2 x y z^3 j-3 x y^2 z^2 k,
Se o campo de forças for conservativo, determine a função potencial V(x, y, z), considerando que o potencial é nulo na origem. Caso contrário, diga que o campo é nãoconservativo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um campo de forças definido por:
F = -y^2 z^3 i - 2 x y z^3 j - 3 x y^2 z^2 k
O exercício quer saber se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar a função potencial $ V(x, y, z) $ que está associada a esse campo, considerando que $ V(0, 0, 0) = 0 $. Se não for conservativo, a resposta é informar isso.
Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial quando ele é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial $ V $, ou seja:
V
Isso significa que existe uma função $ V(x, y, z) $ tal que:
F = -nabla V
Além disso, um campo conservativo sempre satisfaz que seu rotacional é zero:
V(x, y, z)
Vamos verificar se esse campo atende a essa condição.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de $ \vec{F} $. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
F
Vamos calcular cada componente:
  1. Para $ \boldsymbol{i} $:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
i
Então,
partial Fzpartial y = partial (-3 x y^2 z^2)partial y = -6 x y z^2
  1. Para $ \boldsymbol{j} $:
partial Fypartial z = partial (-2 x y z^3)partial z = -6 x y z^2
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = -6 x y z^2 - (-6 x y z^2) = 0
Então,
j
  1. Para $ \boldsymbol{k} $:
partial Fxpartial z = partial (-y^2 z^3)partial z = -3 y^2 z^2
partial Fzpartial x = partial (-3 x y^2 z^2)partial x = -3 y^2 z^2
Então,
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = -3 y^2 z^2 - (-3 y^2 z^2) = 0

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional de $ \vec{F} $ são zero, isto é:
F
Isso nos diz que o campo de forças é conservativo. Portanto, existe uma função potencial $ V(x, y, z) $ tal que $ \vec{F} = -\nabla V $.
Agora, vamos encontrar essa função potencial.

Passo 5

Sabemos que:
Fx = -partial Vpartial x = -y^2 z^3
Integrando em relação a $ x $:
x
Então,
partial Vpartial x = y^2 z^3
Aqui, $ C(y, z) $ é uma função de integração que pode depender de $ y $ e $ z $.

Passo 6

Agora, vamos usar a componente $ F_y $:
Fy
A expressão para $ V $ que encontramos é:
Fy = -partial Vpartial y = -2 x y z^3
Então,
V
Igualando com $ -F_y $:
V(x, y, z) = y^2 z^3 x + C(y, z)
Isso implica que:
partial Vpartial y = 2 y z^3 x + partial Cpartial y
Então, $ C $ não depende de $ y $, apenas de $ z $:
-Fy

Passo 7

Agora, vamos usar a componente $ F_z $:
Fz
Usando a expressão para $ V $:
Fz = -partial Vpartial z = -3 x y^2 z^2
Igualando com $ -F_z $:
V
Isso implica que:
partial Vpartial z = 3 y^2 z^2 x + d Cd z
Então, $ C(z) = constante $.

Passo 8

Agora, temos a função potencial:
V(x, y, z) = x y^2 z^3 + constante
Como o problema pede que o potencial seja nulo na origem $ (0, 0, 0) $, podemos determinar a constante. Substituindo $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
(0, 0, 0)
Portanto, a constante é zero.

Resposta

A função potencial é:
V(x, y, z) = x y^2 z^3

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