Em uma determinada região limitada do espaço, existe o seguinte campo de forças dado por:
,
Se o campo de forças for conservativo, determine a função potencial
, considerando que o potencial é nulo na origem. Caso contrário, diga que o campo é nãoconservativo.
Se o campo de forças for conservativo, determine a função potencial
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem um campo de forças definido por:
O exercício quer saber se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar a função potencial $ V(x, y, z) $ que está associada a esse campo, considerando que $ V(0, 0, 0) = 0 $. Se não for conservativo, a resposta é informar isso.
Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial quando ele é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial $ V $, ou seja:
Isso significa que existe uma função $ V(x, y, z) $ tal que:
Além disso, um campo conservativo sempre satisfaz que seu rotacional é zero:
Vamos verificar se esse campo atende a essa condição.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \vec{F} $. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Para $ \boldsymbol{i} $:
Então,
- Para $ \boldsymbol{j} $:
Então,
- Para $ \boldsymbol{k} $:
Então,
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional de $ \vec{F} $ são zero, isto é:
Isso nos diz que o campo de forças é conservativo. Portanto, existe uma função potencial $ V(x, y, z) $ tal que $ \vec{F} = -\nabla V $.
Agora, vamos encontrar essa função potencial.
Passo 5
Sabemos que:
Integrando em relação a $ x $:
Então,
Aqui, $ C(y, z) $ é uma função de integração que pode depender de $ y $ e $ z $.
Passo 6
Agora, vamos usar a componente $ F_y $:
A expressão para $ V $ que encontramos é:
Então,
Igualando com $ -F_y $:
Isso implica que:
Então, $ C $ não depende de $ y $, apenas de $ z $:
Passo 7
Agora, vamos usar a componente $ F_z $:
Usando a expressão para $ V $:
Igualando com $ -F_z $:
Isso implica que:
Então, $ C(z) = constante $.
Passo 8
Agora, temos a função potencial:
Como o problema pede que o potencial seja nulo na origem $ (0, 0, 0) $, podemos determinar a constante. Substituindo $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $:
Portanto, a constante é zero.
Resposta
A função potencial é: