[Halliday, n. 1, p. 141] As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa específica linear (x está em metros e t em segundos). Ordene as ondas de acordo (a) com a velocidade e (b) com a tensão na corda, em ordem decrescente:
(1) y_{1}=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-3 t),
(2) y_{2}=(6 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(2 x-t),
(3) y_{3}=(1 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(4 x-t),
(4) y_{4}=(4 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(x-2 t),

Passo 1

O enunciado dá quatro ondas viajantes em cordas de mesma massa específica linear \mu, todas escritas no formato
y=A\sin(kx-\omega t)
e pede que ordenemos essas ondas em ordem decrescente de (a) velocidade de propagação v e (b) tensão na corda T. Vamos usar as fórmulas
v=\frac{\omega}{k}, \qquad T=\mu\,v^2
— vale notar que a amplitude não influencia nem v nem T.

Passo 2

Relembrando a teoria de ondas em corda: para uma onda
y=A\sin(kx-\omega t),
a velocidade de fase é
v=\frac{\omega}{k},
e, como \mu é a mesma para todas as cordas, a tensão satisfaz
T=\mu\,v^2,
ou seja, ordenar tensões é o mesmo que ordenar v^2, portanto o mesmo que ordenar v.

Passo 3

Identificamos k e \omega de cada onda e calculamos v:
  1. y_1=(3\text{ mm})\sin(x-3t) k_1=1, \omega_1=3
v_1=\frac{\omega_1}{k_1}=\frac{3}{1}=3.
  1. y_2=(6\text{ mm})\sin(2x-t) k_2=2, \omega_2=1
v_2=\frac{1}{2}=0{,}5.
  1. y_3=(1\text{ mm})\sin(4x-t) k_3=4, \omega_3=1
v_3=\frac{1}{4}=0{,}25.
  1. y_4=(4\text{ mm})\sin(x-2t) k_4=1, \omega_4=2
v_4=\frac{2}{1}=2.

Passo 4

Ordenando as velocidades em ordem decrescente:
v_1=3 > v_4=2 > v_2=0{,}5 > v_3=0{,}25.

Passo 5

Como T=\mu\,v^2 e \mu é igual em todas, a ordem das tensões é a mesma da de v:
T_1 > T_4 > T_2 > T_3.

Resposta

(a) Velocidades em ordem decrescente: 1,4,2,3.
(b) Tensões em ordem decrescente: 1,4,2,3.

Exercícios relacionados