Uma bola é lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (medida em metros) dada em função do tempo t após o lançamento (t em segundos) pela formula h=20 t-5 t^2. Calcule:
a) o tempo decorrido ate a bola chegar à altura máxima
b) a altura máxima da bola
c) o tempo decorrido ate a bola cair no solo (isto é, ate que se tenha novamente h=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vertical. A gente tem uma bola lançada para cima, e a altura dela no tempo t é dada pela fórmula h = 20t - 5t^2 . O conteúdo aqui é da cinemática, que estuda o movimento dos objetos. Vamos precisar usar um pouco de matemática básica, principalmente álgebra, para encontrar o tempo até a bola atingir a altura máxima, qual é essa altura máxima e quanto tempo ela leva para cair de volta ao chão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a bola atinge a altura máxima. Para isso, precisamos achar o tempo t que faz com que a altura h seja máxima. Sabemos que a função h = 20t - 5t^2 é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de t^2 é negativo), então o ponto mais alto é o vértice dessa parábola.

Passo 3

A fórmula para encontrar o tempo no vértice de uma parábola h = at^2 + bt + c é t = -b2a . No nosso caso, a = -5 e b = 20 . Então vamos substituir esses valores na fórmula:
t = -202 times (-5) = -20-10 = 2 , segundos

Passo 4

Agora que sabemos que leva 2 segundos para a bola atingir a altura máxima, vamos calcular essa altura. Basta substituir t = 2 na fórmula original:
h = 20 times 2 - 5 times (2)^2 = 40 - 20 = 20 , metros

Passo 5

Por último, para encontrar o tempo que a bola leva para cair de volta ao chão, precisamos descobrir quando a altura h será zero. Ou seja, resolveremos a equação:
0 = 20t - 5t^2
Podemos fatorar:
0 = 5t(4 - t)
Isso nos dá duas soluções: t = 0 (no momento do lançamento) e t = 4 . Como queremos o tempo após o lançamento, desconsideramos t = 0 .

Resposta

a) A bola atinge a altura máxima após 2 segundos.<br>
b) A altura máxima da bola é de 20 metros.<br>
c) A bola leva 4 segundos para cair no solo.

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