Uma bola é lançada sobre a superfície horizontal do topo de uma escada, saindo do início da escada com velocidade horizontal igual a 2.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Cada degrau tem 19 cm de altura e 31.1 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde a bola bate (considerando que o ponto de partida é o degrau “zero”, o degrau abaixo é o número 1 , e assim por diante, com a numeração dos degraus aumentando no sentido e descida da escada)? Utilize \vec{g}=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!
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Passo 1
Entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:v_x = 2{,}3\\ \mathrm{m/s},\quad h = 0{,}19\\ \mathrm{m},\quad w = 0{,}311\\ \mathrm{m},\quad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Ponto de partida: degrau \,0. O degrau imediatamente abaixo é o degrau \,1, e assim por diante (numeração aumenta descendo).
Pedido: determinar o primeiro degrau (o menor número n\ge1) onde a bola bate.
Passo 2
Escolher sistema de coordenadas e escrever o movimento do projétil.
Coloco a origem no ponto de lançamento (início da escada), eixo x horizontal no sentido da descida (ao longo das larguras dos degraus) e eixo y vertical para baixo.
A velocidade inicial vertical é zero (lançamento horizontal) e a horizontal é v_x.
Equações do movimento:x(t)=v_x\,t,\qquad y(t)=\tfrac{1}{2}gt^2,porque a componente vertical do movimento é uma queda livre com velocidade inicial zero.
Passo 3
Eliminar o tempo para obter a trajetória y em função de x.
Como t=\dfrac{x}{v_x}, substituindo em y(t) temosy(x)=\tfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_x}\right)^2=\dfrac{g}{2v_x^2}\,x^2.
Essa fórmula nos dá a profundidade (queda) vertical da bola quando ela percorre deslocamento horizontal x.
Passo 4
Modelar geometricamente os degraus e a condição de impacto num degrau n.
Cada degrau tem largura w e altura h.
A face vertical (riser) do degrau n está localizada na posição horizontalx_n = n\,w,e essa face vertical vai do nível (n-1)h (topo do degrau acima) até o nível n h (topo do próprio degrau n).
A bola irá bater no degrau n exatamente quando, ao alcançar a vertical x=x_n, sua coordenada vertical y(x_n) estiver entre (n-1)h e n h, isto é:(n-1)h \le y(x_n) \le n h.
Procuramos o menor inteiro n\ge1 que satisfaça essa condição.
Passo 5
Expressar y em x_n e simplificar em função de n.
Substituindo x_n=nw na expressão da trajetória:y(x_n)=\dfrac{g}{2v_x^2}(n w)^2 =\underbrace{\dfrac{g w^2}{2v_x^2}}_{a}\,n^2.
Definimos a=\dfrac{g w^2}{2v_x^2}, assim y(x_n)=a n^2.
Passo 6
Calcular numericamente a constante a com as cifras dadas (passo a passo).
Calcular w^2:w^2=(0{,}311)^2=0{,}096721.
Multiplicar por g:g w^2 = 9{,}81\times 0{,}096721 \approx 0{,}948993.
Dividir para obter a:a=\dfrac{g w^2}{2v_x^2}\approx \dfrac{0{,}948993}{10{,}58}\approx 0{,}08971\\ \mathrm{m}.
Passo 7
Testar n=1 (o candidato mais baixo) aplicando a condição de impacto.
Para n=1:y(x_1)=a\cdot 1^2 = 0{,}08971\\ \mathrm{m}=8{,}971\\ \mathrm{cm}.
Os limites verticales do riser 1 são:(1-1)h=0\\ \mathrm{m}\quad\text{e}\quad 1\cdot h=0{,}19\\ \mathrm{m}.
Como0 \le 0{,}08971 \le 0{,}19,a condição (n-1)h\le y(x_n)\le n h é satisfeita para n=1. Portanto a bola atinge a face vertical do primeiro degrau.
Passo 8
Concluir e dar a resposta final — motivação práticas e checagem rápida.
Encontramos que no primeiro plano vertical de inspeção (x=w) a bola já está dentro da altura do riser do primeiro degrau, então a colisão ocorre ali; não é necessário testar n\ge2 porque o impacto mais próximo (menor n) é o que interessa.
Intuitivamente: ao percorrer 0{,}311\\ \mathrm{m} horizontalmente a bola caiu cerca de 8{,}97\\ \mathrm{cm}, menos do que a altura 19\\ \mathrm{cm} do primeiro degrau, portanto ela bate na face desse primeiro degrau.