Em uma experiência foram medidos os tempos constantes na tabela abaixo: Determine:
\mathrm{t}[\mathrm{s}] 16,4 16,0 15,9 17,0 16,8 16,2 16,5
(a) O valor mais provável do tempo;
(b) A incerteza padrão;
(c) Expressar o resultado seguindo as recomendações para a expressão de medições.

Passo 1

O enunciado dá sete medições dos tempos (em segundos) e pede três coisas:
  • (a) o valor mais provável do tempo;
  • (b) a incerteza padrão;
  • (c) expressar o resultado seguindo recomendações para expressão de medições.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
t_1=16,4,\; t_2=16,0,\; t_3=15,9,\; t_4=17,0,\; t_5=16,8,\; t_6=16,2,\; t_7=16,5\quad\text{(em s)}
O número de medidas é n=7.

Passo 2

Qual é o “valor mais provável”? Para medições repetidas do mesmo fenômeno, o melhor estimador do valor verdadeiro é a média aritmética. A fórmula da média é
\bar{t}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_i,
onde t_i são as medições e n é o número de medições. Aqui vamos somar os valores e dividir por 7.
Calculemos a soma:
\sum_{i=1}^{7} t_i = 16,4+16,0+15,9+17,0+16,8+16,2+16,5 = 114,8.
Então a média é
\bar{t}=\frac{114,8}{7}=16,4\\ \text{s}.
Portanto o valor mais provável (a média) é \bar{t}=16,4\\ \text{s}.

Passo 3

Agora precisamos medir a dispersão das medidas, isto é, quanto as medições variam em torno da média. O desvio padrão amostral s é a medida habitual da dispersão das medições individuais. A fórmula (com correção de Bessel) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(t_i-\bar{t})^2},
onde n-1 é usado para tornar a estimativa de variância não tendenciosa quando trabalhamos com uma amostra.
Calculemos as diferenças t_i-\bar{t} e os quadrados:
\begin{aligned} t_1-\bar{t}&=16,4-16,4=0,0,\quad &(t_1-\bar{t})^2&=0,00,\\\ t_2-\bar{t}&=16,0-16,4=-0,4,\quad &(t_2-\bar{t})^2&=0,16,\\\ t_3-\bar{t}&=15,9-16,4=-0,5,\quad &(t_3-\bar{t})^2&=0,25,\\\ t_4-\bar{t}&=17,0-16,4=0,6,\quad &(t_4-\bar{t})^2&=0,36,\\\ t_5-\bar{t}&=16,8-16,4=0,4,\quad &(t_5-\bar{t})^2&=0,16,\\\ t_6-\bar{t}&=16,2-16,4=-0,2,\quad &(t_6-\bar{t})^2&=0,04,\\\ t_7-\bar{t}&=16,5-16,4=0,1,\quad &(t_7-\bar{t})^2&=0,01. \end{aligned}
Somando os quadrados obtemos
\sum_{i=1}^{7}(t_i-\bar{t})^2 = 0,00+0,16+0,25+0,36+0,16+0,04+0,01 = 0,98.
Logo a variância amostral é
s^2=\frac{0,98}{n-1}=\frac{0,98}{6}=0,163333\ldots
e o desvio padrão é
s=\sqrt{0,163333\ldots}\approx 0,404\\ \text{s}.

Passo 4

A pergunta (b) pede a “incerteza padrão”. Em metrologia de medições repetidas normalmente interpretamos isso como a incerteza do valor médio, isto é, o erro padrão da média (standard error). Essa incerteza mostra quão bem a média estima o valor verdadeiro e é dada por
u(\bar{t})=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral calculado no passo anterior e n é o número de medidas.
Calculando:
\sqrt{n}=\sqrt{7}\approx 2,646,
u(\bar{t})=\frac{0,404}{2,646}\approx 0,153\\ \text{s}.

Passo 5

Agora vamos seguir as recomendações para expressar medições com incerteza. Regras práticas comuns:
  • A incerteza deve ser dada com uma ou duas cifras significativas. Se o primeiro algarismo da incerteza é 1, costuma-se manter duas cifras significativas; caso contrário, uma é suficiente.
  • O valor reportado deve ser arredondado para a mesma casa decimal da incerteza.
Nossa incerteza calculada é u(\bar{t})\approx 0,153\\ \text{s}. O primeiro algarismo é 1, então é recomendável manter duas cifras significativas: u(\bar{t})=0,15\\ \text{s}.
A incerteza tem duas casas decimais (0,15), então a média deve ser apresentada com duas casas decimais: \bar{t}=16,40\\ \text{s}.
Portanto a forma recomendada é
t=(16,40\pm 0,15)\\ \text{s}.
Como alternativa com só uma cifra significativa na incerteza (mais conservadora) poderíamos escrever t=(16,4\pm 0,2)\\ \text{s}, mas a forma com duas cifras significativas em u é preferida aqui.

Resposta

(a) 16,4\\ \mathrm{s}
(b) 0,15\\ \mathrm{s}
(c) t=(16,40\pm 0,15)\\ \mathrm{s}

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