Um paraquedista está caindo, partindo do repouso. O peso (paraquedas e paraquedista) é W quilogramas. Sobre o paraquedas age uma força (devida á resistência do ar) proporcional a sua velocidade instantânea durante a queda. Supondo que a queda é vertical e o paraquedas se abre no momento do salto, descrever o movimento resultante.
As forças agindo sobre o paraquedista são: O peso combinado W, orientado para baixo e, a força de resistência do ar R, orientada para cima. Assim, a força resultante será W-R.
Temos que R=\beta v, onde \beta é a constante de proporcionalidade e v a velocidade, a qual será sempre positiva. Portanto, a força resultante é W-\beta v, e pela Segunda Lei de Newton, temos
\frac{W}{g} \frac{d v}{d t}=W-\beta v, \quad v(0)=0
Por separação de variáveis e integrando, resulta
\int \frac{W d v}{W-\beta v}=\int g d t, \quad \text { ou } \quad-\frac{W}{g} \ln (W-\beta v)=g t+c_{1}
A condição v(0)=0 implica c_{1}=-\frac{W \ln W}{\beta} e portanto
-\frac{W}{g} \ln (W-\beta v)=g t-\frac{W}{g} \ln W, \quad \text { ou } \ln \left(\frac{W}{W-\beta v}\right)=\frac{\beta g t}{W} .
Assim
v(t)=\frac{W}{\beta}\left(1-e^{-\beta g t / W}\right)

Passo 1

Resumindo, temos um paraquedista de peso combinado W (portanto massa m = W/g) que cai verticalmente a partir do repouso. A força peso é W para baixo e a resistência do ar é R=\beta v para cima. Pelo enunciado, queremos descrever o movimento determinando a velocidade v(t).

Passo 2

Pelas forças, a resultante é
F = W - \beta v.
Pela Segunda Lei de Newton, F = m \,a = m\,\frac{dv}{dt}, logo
\frac{W}{g}\,\frac{dv}{dt} \;=\; W - \beta v \quad\text{com}\quad v(0)=0.

Passo 3

Separamos variáveis em
\frac{W}{W - \beta v}\,dv = g\,dt
e integramos dos instantes iniciais até t:
\int_{0}^{v(t)} \frac{W}{W - \beta v}\,dv \;=\; \int_{0}^{t} g\,dt.

Passo 4

A integral à esquerda é
\int \frac{W}{W - \beta v}\,dv = -\frac{W}{\beta}\,\ln\bigl(W - \beta v\bigr),
logo, avaliando de v=0 a v=v(t) e de t=0 a t, obtemos
-\frac{W}{\beta}\ln\bigl(W - \beta v(t)\bigr) + \frac{W}{\beta}\ln W = g\,t.

Passo 5

Reorganizando,
\ln\!\biggl(\frac{W}{W - \beta v(t)}\biggr) = \frac{\beta g}{W}\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{W}{W - \beta v(t)} = e^{\beta g t / W}.
Isolando v(t)
v(t) = \frac{W}{\beta}\Bigl(1 - e^{-\beta g t / W}\Bigr).

Passo 6

Analisando v(t): começa em zero e cresce exponencialmente, aproximando-se assintoticamente da velocidade terminal
v_{\text{ter}} = \lim_{t\to\infty}v(t) = \frac{W}{\beta}.
Ou seja, o paraquedista atinge rapidamente uma velocidade constante determinada pelo equilíbrio entre peso e resistência do ar.

Resposta

v(t) = \frac{W}{\beta}\Bigl(1 - e^{-\beta g t / W}\Bigr),
com velocidade terminal v_{\text{ter}} = W/\beta.

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