1. Uma bola de latão de 6 cm de raio é resfriada de 100^{\circ} \mathrm{C} para 20^{\circ} \mathrm{C}. Achar a variação de seu volume:
    a) Primeiramente encontrando a variação no raio, e em seguida calculando o seu volume;
    b) Usando o coeficiente de dilatação volumétrica.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de latão com raio inicial r_0=6\\ \text{cm} que é resfriada de 100^\circ\mathrm{C} para 20^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a variação de temperatura é
\Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}=20-100=-80\\ ^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: achar a variação do volume da esfera. O enunciado pede dois caminhos:
a) primeiro calcular a variação do raio e então o volume;
b) usar o coeficiente de dilatação volumétrica.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Dilatação linear: para um comprimento qualquer L_0 que sofre variação de temperatura \Delta T, a variação do comprimento é
\Delta L = \alpha L_0 \Delta T,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}). Isso significa que o novo comprimento é L_1=L_0(1+\alpha\Delta T).
  • Volume de uma esfera de raio r:
V=\frac{4}{3}\pi r^3.
  • Para sólidos isotrópicos e pequenas variações de temperatura o coeficiente volumétrico \beta está aproximadamente relacionado com \alpha por
\beta \approx 3\alpha.
Usando \beta, a variação de volume linearizada é
\Delta V \approx \beta V_0 \Delta T.
  • Valor numérico típico para latão: vou usar \alpha=19\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Logo
\beta \approx 3\alpha = 57\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Obs.: esses são valores usuais encontrados em tabelas para latão; como a variação é pequena, as fórmulas lineares são adequadas.

Passo 3

Início do método (a): calcular a variação do raio e o novo raio.
  • A variação do raio é
\Delta r = \alpha r_0 \Delta T.
Substituindo r_0=6\\ \text{cm}, \alpha=19\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T=-80\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta r = 19\times10^{-6}\cdot 6 \cdot (-80)\\ \text{cm}.
Calcule passo a passo:
19\times10^{-6}\cdot 6 = 114\times10^{-6}=1,14\times10^{-4},
1,14\times10^{-4}\cdot (-80) = -9,12\times10^{-3}.
Portanto
\Delta r = -0,00912\\ \text{cm}.
O novo raio é
r_1 = r_0 + \Delta r = 6-0,00912 = 5,99088\\ \text{cm}.

Passo 4

Ainda no método (a): calcular volumes inicial e final e a variação exata.
  • Volume inicial
V_0=\frac{4}{3}\pi r_0^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi\\ \text{cm}^3.
  • Volume final (usando r_1)
V_1=\frac{4}{3}\pi r_1^3=\frac{4}{3}\pi \bigl(r_0(1+\alpha\Delta T)\bigr)^3 =V_0(1+\alpha\Delta T)^3.
Como já calculamos \alpha\Delta T = -0,00152, temos
(1+\alpha\Delta T)^3=(1-0,00152)^3 \approx 0,995446928
(esse valor pode ser obtido expandindo o binômio ou calculando diretamente). Assim
V_1 \approx 288\pi \times 0,995446928 \approx 900,6592\\ \text{cm}^3.
  • Variação do volume (exata, considerando a relação cúbica)
\Delta V = V_1-V_0 \approx 900,6592 - 904,7787 = -4,1195\\ \text{cm}^3.
(onde V_0=288\pi\approx 904,7787\\ \text{cm}^3). Podemos arredondar para duas casas decimais se desejar: \Delta V\approx -4,12\\ \text{cm}^3.

Passo 5

Método (b): usar o coeficiente volumétrico \beta.
  • Relação linear aproximada para pequenas variações:
\Delta V \approx \beta V_0 \Delta T.
Com \beta=57\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, V_0=288\pi\\ \text{cm}^3 e \Delta T=-80\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta V \approx 57\times10^{-6}\cdot 288\pi \cdot (-80).
Calcule passo a passo:
57\times10^{-6}\cdot (-80) = -0,00456,
\Delta V \approx 288\pi \times (-0,00456) = -1,31328\pi \approx -4,1258\\ \text{cm}^3.
Arredondando: \Delta V \approx -4,13\\ \text{cm}^3.

Passo 6

Comentário final e comparação dos dois resultados:
  • Pelo método (a) obtivemos \Delta V \approx -4,1195\\ \text{cm}^3 (valor “exato” usando r_1).
  • Pelo método (b) (fórmula linear com \beta=3\alpha) obtivemos \Delta V \approx -4,1258\\ \text{cm}^3.
    A diferença entre os dois valores é muito pequena (da ordem de 10^{-3} a 10^{-2}\\ \text{cm}^3), porque a expansão térmica é pequena e os termos de ordem superior em \alpha são desprezíveis. Portanto ambos os métodos concordam numericamente dentro da precisão prática.

Resposta

(a) \Delta r = -0,00912\\ \text{cm}; \Delta V \approx -4,1195\\ \text{cm}^3\n
(b) \Delta V \approx -4,1258\\ \text{cm}^3

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