- Uma bola de latão de 6 cm de raio é resfriada de
para
. Achar a variação de seu volume:
a) Primeiramente encontrando a variação no raio, e em seguida calculando o seu volume;
b) Usando o coeficiente de dilatação volumétrica.
a) Primeiramente encontrando a variação no raio, e em seguida calculando o seu volume;
b) Usando o coeficiente de dilatação volumétrica.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de latão com raio inicial
que é resfriada de
para
. Ou seja, a variação de temperatura é
O que se pede: achar a variação do volume da esfera. O enunciado pede dois caminhos:
a) primeiro calcular a variação do raio e então o volume;
b) usar o coeficiente de dilatação volumétrica.
a) primeiro calcular a variação do raio e então o volume;
b) usar o coeficiente de dilatação volumétrica.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Dilatação linear: para um comprimento qualquer
que sofre variação de temperatura , a variação do comprimento é
onde
é o coeficiente de dilatação linear (unidade
). Isso significa que o novo comprimento é
.
- Volume de uma esfera de raio
:
- Para sólidos isotrópicos e pequenas variações de temperatura o coeficiente volumétrico
está aproximadamente relacionado com por
Usando
, a variação de volume linearizada é
- Valor numérico típico para latão: vou usar
. Logo
Obs.: esses são valores usuais encontrados em tabelas para latão; como a variação é pequena, as fórmulas lineares são adequadas.
Passo 3
Início do método (a): calcular a variação do raio e o novo raio.
- A variação do raio é
Substituindo
,
e
,
Calcule passo a passo:
Portanto
O novo raio é
Passo 4
Ainda no método (a): calcular volumes inicial e final e a variação exata.
- Volume inicial
- Volume final (usando
)
Como já calculamos
, temos
(esse valor pode ser obtido expandindo o binômio ou calculando diretamente). Assim
- Variação do volume (exata, considerando a relação cúbica)
(onde
). Podemos arredondar para duas casas decimais se desejar:
.
Passo 5
Método (b): usar o coeficiente volumétrico
.
- Relação linear aproximada para pequenas variações:
Com
,
e
,
Calcule passo a passo:
Arredondando:
.
Passo 6
Comentário final e comparação dos dois resultados:
- Pelo método (a) obtivemos
(valor “exato” usando ). - Pelo método (b) (fórmula linear com
) obtivemos .
A diferença entre os dois valores é muito pequena (da ordem dea ), porque a expansão térmica é pequena e os termos de ordem superior em são desprezíveis. Portanto ambos os métodos concordam numericamente dentro da precisão prática.
Resposta
(a)
;
\n
(b)
(b)