- Em vez de definir uma temperatura
como uma função linear de certa propriedade física
, pode-se definir a temperatura
como uma função logarítmica da forma
em que
e
são constantes. Suponha
no ponto de gelo e
no ponto de vapor. Calcule a temperatura
correspondente a
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
com as condições:
-
no ponto de gelo (ou seja, quando a propriedade física vale ); -
no ponto de vapor (ou seja, quando a propriedade física vale ).
O que se pede: calcularcorrespondente a , isto é, quando a propriedade física vale .
Observação importante: o enunciado não dá valores numéricos para
,
e
. Vou primeiro obter a fórmula geral que relaciona
com os três valores
,
,
. Em seguida, para fornecer um número, farei a avaliação no caso físico usual em que
é a temperatura absoluta (Kelvin), usando
,
e
. Essa última etapa é uma hipótese justificável para obter um valor numérico.
Passo 2
Impondo as condições dadas obtemos duas equações lineares em
e
:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
vem
Passo 3
Da equação do passo anterior isolamos
:
Usando a primeira equação, obtemos
:
Passo 4
Agora calculamos
quando
. Substituindo
e
em
dá
Usando a expressão de
do passo 3:
Aplicando a propriedade dos logaritmos
, obtemos a forma compacta e muito útil:
Essa é a resposta geral:
no ponto de
é
vezes a posição relativa de
entre
e
.
Breve explicação didática sobre o que foi usado:
- Resolver as duas condições deu um sistema linear em
e ; a subtração é técnica padrão para eliminar . - A identidade
simplifica a expressão e mostra que a escala mede razões (fatores) de , não diferenças absolutas.
Passo 5
Agora, para obter um valor numérico, faço a hipótese prática de que
é a temperatura absoluta (Kelvin). Pegando
calculo
Substituindo na fórmula do passo 4:
Passo 6
Interpretação rápida: com a escala logarítmica definida por
fixando
no gelo e
no vapor, o ponto
corresponde a um
um pouco maior que
(a razão da curva log faz essa pequena assimetria). Se
for outra propriedade física, basta substituir os valores de
,
e
na fórmula do passo 4 para obter o
correto.