1. Em vez de definir uma temperatura T como uma função linear de certa propriedade física X, pode-se definir a temperatura T^{\prime} como uma função logarítmica da forma
T^{\prime}=a \ln X+b
em que a e b são constantes. Suponha T^{\prime}=0^{\circ} no ponto de gelo e T^{\prime}=100^{\circ} no ponto de vapor. Calcule a temperatura T^{\prime} correspondente a 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá a relação
T' = a \ln X + b,
com as condições:
  • \,T'=0^\circ no ponto de gelo (ou seja, quando a propriedade física vale X_{\text{gelo}});
  • \,T'=100^\circ no ponto de vapor (ou seja, quando a propriedade física vale X_{\text{vapor}}).
    O que se pede: calcular T' correspondente a 50^\circ\mathrm{C}, isto é, quando a propriedade física vale X_{50}.
Observação importante: o enunciado não dá valores numéricos para X_{\text{gelo}}, X_{50} e X_{\text{vapor}}. Vou primeiro obter a fórmula geral que relaciona T' com os três valores X_{\text{gelo}}, X_{50}, X_{\text{vapor}}. Em seguida, para fornecer um número, farei a avaliação no caso físico usual em que X é a temperatura absoluta (Kelvin), usando X_{\text{gelo}}=273{,}15, X_{50}=323{,}15 e X_{\text{vapor}}=373{,}15. Essa última etapa é uma hipótese justificável para obter um valor numérico.

Passo 2

Impondo as condições dadas obtemos duas equações lineares em a e b:
0 = a \ln X_{\text{gelo}} + b,
100 = a \ln X_{\text{vapor}} + b.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b vem
100 = a\bigl(\ln X_{\text{vapor}} - \ln X_{\text{gelo}}\bigr).

Passo 3

Da equação do passo anterior isolamos a:
a = \frac{100}{\ln X_{\text{vapor}} - \ln X_{\text{gelo}}}.
Usando a primeira equação, obtemos b:
b = -a \ln X_{\text{gelo}} = -\frac{100\,\ln X_{\text{gelo}}}{\ln X_{\text{vapor}} - \ln X_{\text{gelo}}}.

Passo 4

Agora calculamos T' quando X=X_{50}. Substituindo a e b em T'=a\ln X_{50}+b
T' = a\bigl(\ln X_{50}-\ln X_{\text{gelo}}\bigr).
Usando a expressão de a do passo 3:
T' = \frac{100}{\ln X_{\text{vapor}} - \ln X_{\text{gelo}}}\,\bigl(\ln X_{50}-\ln X_{\text{gelo}}\bigr).
Aplicando a propriedade dos logaritmos \ln u-\ln v=\ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right), obtemos a forma compacta e muito útil:
\boxed{\,T' = 100\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{X_{50}}{X_{\text{gelo}}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{X_{\text{vapor}}}{X_{\text{gelo}}}\right)}\,}.
Essa é a resposta geral: T' no ponto de 50^\circ\mathrm{C} é 100 vezes a posição relativa de \ln X_{50} entre \ln X_{\text{gelo}} e \ln X_{\text{vapor}}.
Breve explicação didática sobre o que foi usado:
  • Resolver as duas condições deu um sistema linear em a e b; a subtração é técnica padrão para eliminar b.
  • A identidade \ln u-\ln v=\ln(u/v) simplifica a expressão e mostra que a escala T' mede razões (fatores) de X, não diferenças absolutas.

Passo 5

Agora, para obter um valor numérico, faço a hipótese prática de que X é a temperatura absoluta (Kelvin). Pegando
X_{\text{gelo}}=273{,}15,\qquad X_{50}=323{,}15,\qquad X_{\text{vapor}}=373{,}15,
calculo
\ln\!\left(\dfrac{X_{50}}{X_{\text{gelo}}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{323{,}15}{273{,}15}\right)\approx 0{,}1679,
\ln\!\left(\dfrac{X_{\text{vapor}}}{X_{\text{gelo}}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{373{,}15}{273{,}15}\right)\approx 0{,}3126.
Substituindo na fórmula do passo 4:
T' \approx 100\cdot\frac{0{,}1679}{0{,}3126}\approx 53{,}7^\circ.

Passo 6

Interpretação rápida: com a escala logarítmica definida por T'=a\ln X+b fixando 0^\circ no gelo e 100^\circ no vapor, o ponto 50^\circ\mathrm{C} corresponde a um T' um pouco maior que 50^\circ (a razão da curva log faz essa pequena assimetria). Se X for outra propriedade física, basta substituir os valores de X_{\text{gelo}}, X_{50} e X_{\text{vapor}} na fórmula do passo 4 para obter o T' correto.

Resposta

T' \approx 53{,}7^\circ

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