1. Mostre que, se \alpha for considerado variável e dependente da temperatura, então
L=L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T} \alpha(T) d T\right]
sendo L_{0} o comprimento correspondente a temperatura T_{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
  • Existe um comprimento inicial L_{0} à temperatura inicial T_{0}.
  • O coeficiente de dilatação linear \alpha é função da temperatura, isto é, \alpha=\alpha(T).
  • Pedem para mostrar que, para a temperatura T,
L=L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T)\,dT\right].
Aqui estão claramente os dados: L_{0} (comprimento em T_{0}) e \alpha(T) (dependente de T). O que se quer é uma expressão para L em função de L_{0}, T_{0}, T e \alpha(T).

Passo 2

Definição e ideia física — o que é \alpha e como relacioná-lo a L.
  • O coeficiente de dilatação linear \alpha mede a variação relativa do comprimento por unidade de temperatura. Por definição infinitesimal,
\alpha(T)=\frac{1}{L(T)}\frac{dL}{dT},
onde L(T) é o comprimento quando a temperatura é T.
  • Explicando em palavras: \alpha(T) é a fração \Delta L / L que se tem por um pequeno aumento de temperatura \Delta T, no limite de \Delta T\to 0.

Passo 3

Escrever a relação diferencial que vem da definição.
A partir de \alpha(T)=\dfrac{1}{L}\dfrac{dL}{dT} podemos reescrever como
\frac{dL}{L}=\alpha(T)\,dT.
Aqui dL é o pequeno incremento de comprimento associado a um pequeno incremento de temperatura dT. Note que tudo está em função de T: L=L(T) e \alpha=\alpha(T).

Passo 4

Integrar a relação diferencial para obter a solução geral exata.
Integramos ambos os lados entre os estados iniciais e finais:
\int_{L_{0}}^{L}\frac{dL'}{L'}=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'.
O primed (após a integral) apenas distingue a variável de integração. A integral do lado esquerdo é logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{L}{L_{0}}\right)=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'.
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma exata
L=L_{0}\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right).
Isto é a solução exata da equação diferencial dada pela definição de \alpha.

Passo 5

Explicar a relação entre a solução exata e a forma pedida no enunciado.
A expressão que o enunciado pede,
L=L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T)\,dT\right],
é a aproximação de primeira ordem da solução exata quando o valor do integral é pequeno. Use a expansão em série de Taylor do exponencial:
\exp(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots.
Tomando x=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT', e mantendo apenas o primeiro termo depois do 1 (ou seja, desconsiderando os termos \propto x^{2} e superiores), obtemos
\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right)\approx 1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'.
Multiplicando por L_{0} segue
L\approx L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right],
que é exatamente a fórmula solicitada. A aproximação é válida quando \displaystyle \left|\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right|\ll 1, isto é, quando a variação relativa de comprimento é pequena (situação comum na prática, pois \alpha costuma ser da ordem de 10^{-6} a 10^{-5}\,\text{K}^{-1}).

Passo 6

Derivação alternativa — método por incrementos finitos (intuitivo para prova sem cálculo avançado).
  • Divida o intervalo de temperatura [T_{0},T] em n pequenos passos com variações \Delta T_{i}. Para o i-ésimo passo, suponha \alpha aproximadamente constante e igual a \alpha_{i}. O comprimento muda de L_{i-1} para L_{i} segundo a relação linear aproximada:
L_{i}=L_{i-1}\bigl(1+\alpha_{i}\Delta T_{i}\bigr).
  • Após todos os passos, o comprimento final é produto:
L=L_{0}\prod_{i=1}^{n}\bigl(1+\alpha_{i}\Delta T_{i}\bigr).
  • Para passos muito pequenos podemos usar a aproximação multiplicativa, expandindo o produto e desprezando todos os termos de ordem superior em \Delta T (cross-terms como \alpha_{i}\alpha_{j}\Delta T_{i}\Delta T_{j}), obtendo
L\approx L_{0}\left[1+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\Delta T_{i}\right].
  • No limite n\to\infty essa soma converge para a integral:
\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\Delta T_{i}\to\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT',
portanto
L\approx L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right].
Isto mostra de forma construtiva (e apenas de primeira ordem) a fórmula pedida, e deixa claro por que se desprezam termos quadráticos e superiores.

Passo 7

Exemplo concreto e verificação do caso constante.
  • Se \alpha for constante, \alpha(T)=\alpha_{0}, então a integral vale \int_{T_{0}}^{T}\alpha_{0}\,dT'=\alpha_{0}(T-T_{0}).
  • A fórmula aproximada dá
L\approx L_{0}\bigl[1+\alpha_{0}(T-T_{0})\bigr],
que é a expressão usual que se aprende em início de curso. A solução exata no caso constante é
L=L_{0}e^{\alpha_{0}(T-T_{0})},
e, para \alpha_{0}(T-T_{0})\ll 1, temos e^{\alpha_{0}(T-T_{0})}\approx 1+\alpha_{0}(T-T_{0}), recuperando a expressão linear.

Resposta

L=L_{0}\left[1+\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T)\,dT\right]

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