Aqui estão claramente os dados: L_{0} (comprimento em T_{0}) e \alpha(T) (dependente de T). O que se quer é uma expressão para L em função de L_{0}, T_{0}, T e \alpha(T).
Passo 2
Definição e ideia física — o que é \alpha e como relacioná-lo a L.
O coeficiente de dilatação linear \alpha mede a variação relativa do comprimento por unidade de temperatura. Por definição infinitesimal,
\alpha(T)=\frac{1}{L(T)}\frac{dL}{dT},
onde L(T) é o comprimento quando a temperatura é T.
Explicando em palavras: \alpha(T) é a fração \Delta L / L que se tem por um pequeno aumento de temperatura \Delta T, no limite de \Delta T\to 0.
Passo 3
Escrever a relação diferencial que vem da definição.
A partir de \alpha(T)=\dfrac{1}{L}\dfrac{dL}{dT} podemos reescrever como
\frac{dL}{L}=\alpha(T)\,dT.
Aqui dL é o pequeno incremento de comprimento associado a um pequeno incremento de temperatura dT. Note que tudo está em função de T: L=L(T) e \alpha=\alpha(T).
Passo 4
Integrar a relação diferencial para obter a solução geral exata.
Integramos ambos os lados entre os estados iniciais e finais:
é a aproximação de primeira ordem da solução exata quando o valor do integral é pequeno. Use a expansão em série de Taylor do exponencial:
\exp(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots.
Tomando x=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT', e mantendo apenas o primeiro termo depois do 1 (ou seja, desconsiderando os termos \propto x^{2} e superiores), obtemos
que é exatamente a fórmula solicitada. A aproximação é válida quando \displaystyle \left|\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right|\ll 1, isto é, quando a variação relativa de comprimento é pequena (situação comum na prática, pois \alpha costuma ser da ordem de 10^{-6} a 10^{-5}\,\text{K}^{-1}).
Passo 6
Derivação alternativa — método por incrementos finitos (intuitivo para prova sem cálculo avançado).
Divida o intervalo de temperatura [T_{0},T] em n pequenos passos com variações \Delta T_{i}. Para o i-ésimo passo, suponha \alpha aproximadamente constante e igual a \alpha_{i}. O comprimento muda de L_{i-1} para L_{i} segundo a relação linear aproximada:
Para passos muito pequenos podemos usar a aproximação multiplicativa, expandindo o produto e desprezando todos os termos de ordem superior em \Delta T (cross-terms como \alpha_{i}\alpha_{j}\Delta T_{i}\Delta T_{j}), obtendo