Leia os itens a seguir:
Para um material qualquer, a densidade
, a massa m e o volume V estão relacionados por
. Provar que
em que
é o coeficiente de dilatação volumétrica e que
Para um material qualquer, a densidade
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre densidade, massa e volume:
Pede-se para provar duas fórmulas envolvendo o coeficiente de dilatação volumétrica
:
- mostrar que
; - mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas:
- a relação
(peguei isto do enunciado); - as expressões a provar envolvem derivadas em relação à temperatura
.
Não foi dada nenhuma outra condição explícita no enunciado (por exemplo, se a pressão é mantida constante), portanto a manipulação algébrica abaixo será feita assumindo que estamos considerando a variação dee com para a mesma porção de material (isto é, massa constante).
Passo 2
Entendendo o que significa derivar aqui (pequena aula): quando escrevemos
estamos indicando a taxa de variação da densidade
em relação à temperatura
(podendo existir dependência também de outras variáveis, por isso o símbolo
). Quando escrevemos
estamos indicando a taxa de variação do volume
com
para a amostra considerada. Na prática, para um pedaço fixo de material a massa
não muda quando a temperatura varia, então ao diferenciar a relação
em relação a
podemos tratar
como constante. Vou usar isso a seguir.
Passo 3
Diferencie a relação
em relação a
, tratando
como constante. Escrevendo a derivada parcial de
em função de
:
Como
é constante, apliquei a regra da derivada de uma razão com numerador constante; isso dá:
Passo 4
Reescrevendo a expressão do passo anterior em termos de
. Note que
, portanto
Substituindo isso em
obtemos:
Passo 5
Isolando a razão
a partir da igualdade do passo anterior, divide-se ambos os lados por
:
Esta igualdade mostra que a variação relativa do volume com
é o negativo da variação relativa da densidade com
.
Passo 6
Agora interpretando
: o coeficiente de dilatação volumétrica
é definido como a variação relativa do volume por unidade de temperatura, ou seja, por definição física
A partir da igualdade do passo anterior, isso implica imediatamente
Portanto as duas fórmulas pedidas estão provadas e são equivalentes entre si.
Passo 7
Breve comentário didático e exemplo simples para fixar: fisicamente, quando um material é aquecido seu volume normalmente cresce (
), então
. Como a massa não muda, a densidade diminui, logo
. A fórmula
mostra exatamente essa relação inversa entre aumento de volume e queda de densidade. Exemplo numérico rápido (apenas para intuição): se um corpo tem
, uma elevação de
faria
, e a densidade cairia aproximadamente
, consistente com a fórmula.