Leia os itens a seguir:
Para um material qualquer, a densidade \rho, a massa m e o volume V estão relacionados por \rho=m / V. Provar que
\gamma=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial T}
em que \gamma é o coeficiente de dilatação volumétrica e que
\gamma=\frac{1}{V} \frac{d V}{d T}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre densidade, massa e volume:
\rho=\frac{m}{V}.
Pede-se para provar duas fórmulas envolvendo o coeficiente de dilatação volumétrica \gamma:
  • mostrar que \displaystyle \gamma=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T};
  • mostrar que \displaystyle \gamma=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a relação \rho=\dfrac{m}{V} (peguei isto do enunciado);
  • as expressões a provar envolvem derivadas em relação à temperatura T.
    Não foi dada nenhuma outra condição explícita no enunciado (por exemplo, se a pressão é mantida constante), portanto a manipulação algébrica abaixo será feita assumindo que estamos considerando a variação de \rho e V com T para a mesma porção de material (isto é, massa m constante).

Passo 2

Entendendo o que significa derivar aqui (pequena aula): quando escrevemos \dfrac{\partial \rho}{\partial T} estamos indicando a taxa de variação da densidade \rho em relação à temperatura T (podendo existir dependência também de outras variáveis, por isso o símbolo \partial). Quando escrevemos \dfrac{dV}{dT} estamos indicando a taxa de variação do volume V com T para a amostra considerada. Na prática, para um pedaço fixo de material a massa m não muda quando a temperatura varia, então ao diferenciar a relação \rho=m/V em relação a T podemos tratar m como constante. Vou usar isso a seguir.

Passo 3

Diferencie a relação \rho=\dfrac{m}{V} em relação a T, tratando m como constante. Escrevendo a derivada parcial de \rho em função de T:
\frac{\partial \rho}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{m}{V}\right).
Como m é constante, apliquei a regra da derivada de uma razão com numerador constante; isso dá:
\frac{\partial \rho}{\partial T} = -\,\frac{m}{V^{2}}\frac{dV}{dT}.

Passo 4

Reescrevendo a expressão do passo anterior em termos de \rho. Note que \dfrac{m}{V}=\rho, portanto
\frac{m}{V^{2}}=\frac{1}{V}\cdot\frac{m}{V}=\frac{\rho}{V}.
Substituindo isso em \dfrac{\partial \rho}{\partial T}=-\dfrac{m}{V^{2}}\dfrac{dV}{dT} obtemos:
\frac{\partial \rho}{\partial T} = -\,\frac{\rho}{V}\frac{dV}{dT}.

Passo 5

Isolando a razão \dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dT} a partir da igualdade do passo anterior, divide-se ambos os lados por -\rho:
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T} = \frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.
Esta igualdade mostra que a variação relativa do volume com T é o negativo da variação relativa da densidade com T.

Passo 6

Agora interpretando \gamma: o coeficiente de dilatação volumétrica \gamma é definido como a variação relativa do volume por unidade de temperatura, ou seja, por definição física
\gamma=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.
A partir da igualdade do passo anterior, isso implica imediatamente
\gamma=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}.
Portanto as duas fórmulas pedidas estão provadas e são equivalentes entre si.

Passo 7

Breve comentário didático e exemplo simples para fixar: fisicamente, quando um material é aquecido seu volume normalmente cresce ( \dfrac{dV}{dT}>0), então \gamma>0. Como a massa não muda, a densidade diminui, logo \dfrac{\partial \rho}{\partial T}<0. A fórmula \gamma=-\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial \rho}{\partial T} mostra exatamente essa relação inversa entre aumento de volume e queda de densidade. Exemplo numérico rápido (apenas para intuição): se um corpo tem \gamma=3\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}, uma elevação de 100\\ \mathrm{K} faria \Delta V/V\approx 3\cdot10^{-3}, e a densidade cairia aproximadamente 0{,}3\%, consistente com a fórmula.

Resposta

\displaystyle \gamma=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}
\displaystyle \gamma=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}

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