1. No problema anterior, seja X o comprimento da coluna líquida de um termômetro de mercúrio. Adotemos como pontos de referências, X \mathrm{i}=5 \mathrm{~cm} e T^{\prime}{ }_{i}=0^{\circ} ; X_{f}=25 \mathrm{~cm} e T_{f}^{\prime}=100^{\circ}. Encontre as distâncias em centímetros entre os pontos \mathrm{T}^{\prime}=0^{\circ} e T^{\prime}=10^{\circ} e entre os pontos T^{\prime}=90^{\circ} e T^{\prime}=100^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá os dois pontos de referência do termômetro:
  • X_i=5\\ \text{cm} corresponde a T'_i=0^\circ.
  • X_f=25\\ \text{cm} corresponde a T'_f=100^\circ.
O que pede:
  • A distância (em cm) entre os pontos T'=0^\circ e T'=10^\circ.
  • A distância (em cm) entre os pontos T'=90^\circ e T'=100^\circ.

Passo 2

Modelo que vamos usar: a relação entre o comprimento X da coluna e a temperatura T' é linear (dois pontos determinam uma reta). Escrevemos a reta assim:
X = a + b\,T',
onde:
  • X é o comprimento em centímetros,
  • T' é a temperatura em graus Celsius,
  • a é a ordenada na origem (comprimento quando T'=0^\circ),
  • b é a inclinação (variação de X por grau Celsius), isto é, a taxa \dfrac{\text{cm}}{^\circ}.
Para determinar a e b usamos os dois pontos fornecidos.

Passo 3

Calcular a inclinação b usando os dois pontos (T'_i,X_i) e (T'_f,X_f):
b=\frac{X_f-X_i}{T'_f-T'_i}.
Substituindo os valores dados:
b=\frac{25-5}{100-0}=\frac{20}{100}=0{,}2\\ \frac{\text{cm}}{^\circ}.
Interpretação: a cada aumento de 1^\circ a coluna cresce 0{,}2\\ \text{cm}.

Passo 4

Determinar a. Usando X_i=a+bT'_i:
a=X_i-bT'_i=5-0{,}2\cdot 0=5\\ \text{cm}.
Verificação rápida: para T'=100^\circ, X=a+b\cdot100=5+0{,}2\cdot100=5+20=25\\ \text{cm}, que bate com o ponto final.

Passo 5

Distância entre T'=0^\circ e T'=10^\circ.
Calcular X(10) e subtrair X(0):
X(10)=a+b\cdot 10=5+0{,}2\cdot 10=5+2=7\\ \text{cm},
X(0)=5\\ \text{cm}.
Diferença:
X(10)-X(0)=7-5=2\\ \text{cm}.
Também pode-se usar diretamente b\cdot(10-0)=0{,}2\cdot10=2\\ \text{cm}.

Passo 6

Distância entre T'=90^\circ e T'=100^\circ.
Calcular X(90) e X(100):
X(90)=a+b\cdot90=5+0{,}2\cdot90=5+18=23\\ \text{cm},
X(100)=25\\ \text{cm}.
Diferença:
X(100)-X(90)=25-23=2\\ \text{cm}.
Ou diretamente b\cdot(100-90)=0{,}2\cdot10=2\\ \text{cm}.

Resposta

2\\ \text{cm}
2\\ \text{cm}

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