Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos: (d) Esfera oca de raio Re e massa M.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o momento de inércia de uma esfera oca com raio $ R_e $ e massa $ M $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre mecânica rotacional e usar a fórmula específica para o momento de inércia de uma esfera oca.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança no seu estado de rotação. Ele depende da massa do objeto e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com uma esfera oca, toda a massa está distribuída na superfície da esfera, a uma distância igual ao raio $ R_e $ do centro. Isso simplifica nossos cálculos porque sabemos que cada partícula de massa está exatamente a uma distância $ R_e $ do eixo de rotação.
Passo 4
A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ de um objeto é:
Onde:
- $ r $ é a distância de cada partícula de massa $ dm $ ao eixo de rotação.
- $ I $ é o momento de inércia total.
Passo 5
No caso da esfera oca, como toda a massa está a uma distância $ R_e $ do centro, podemos simplificar a integração. Cada partícula de massa contribui com $ R_e^2 $ para o momento de inércia. Portanto, temos:
Onde $ M $ é a massa total da esfera.
Passo 6
No entanto, para uma esfera oca, a distribuição real de massa leva a um fator de
. Portanto, a fórmula correta do momento de inércia para uma esfera oca é:
Resposta
O momento de inércia da esfera oca é $ I = \frac{2}{3} M R_e^2 $.