Uma bola de massa
se move com velocidade
ao longo do eixo
colide elasticamente com outra bola idêntica (
) que estava inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola A se move com um ângulo de
relação ao eixo x e a bola
com um ângulo
.
Qual é a velocidade final da bola A e da bola B?
Qual é a velocidade final da bola A e da bola B?
Passo 1
Beleza, então temos uma situação de colisão entre duas bolas idênticas. A bola A, que pesa 0,5 kg, está se movendo na direção do eixo x com velocidade de 4 m/s e bate de forma elástica na bola B, que também pesa 0,5 kg e estava parada. Depois da colisão, a bola A se desvia 37 graus em relação ao eixo x, e a bola B vai em um ângulo desconhecido, que vamos chamar de θ_B. O que queremos descobrir são as velocidades finais das duas bolas após a colisão. Para resolver isso, vamos usar os princípios de conservação de momentum (quantidade de movimento) e conservação de energia cinética, já que a colisão é elástica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Vamos decompor as velocidades em componentes x e y para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos chamar as velocidades finais das bolas A e B de v_Af e v_Bf, respectivamente. Sabemos que antes da colisão, a bola B estava em repouso, então sua velocidade inicial é zero.
Passo 4
Aplicando a conservação do momentum na direção x:
Como m_A = m_B, podemos simplificar:
Passo 5
Aplicando a conservação do momentum na direção y:
Novamente, como m_A = m_B:
Isso nos dá:
Passo 6
Como a colisão é elástica, a energia cinética também é conservada:
Simplificando:
Passo 7
Agora temos três equações:
- $ 4 = v_{Af} \cdot \cos(37°) + v_{Bf} \cdot \cos(\theta_B) $
- $ v_{Af} \cdot \sin(37°) = v_{Bf} \cdot \sin(\theta_B) $
- $ 16 = v_{Af}^2 + v_{Bf}^2 $
Vamos resolver essas equações para encontrar v_Af e v_Bf.
Passo 8
Da equação 2, podemos expressar θ_B em termos de v_Af e v_Bf:
Mas isso complica, então vamos usar outra abordagem. Sabemos que, em colisões elásticas entre massas iguais, as duas bolas se separam em ângulos complementares, ou seja:
Passo 9
Agora que temos θ_B, podemos substituir na equação 1:
Sabendo que $ \cos(37°) \approx 0,7986 $ e $ \cos(53°) \approx 0,6018 $, temos:
Passo 10
Também da equação 3:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
- $ 0,7986 \cdot v_{Af} + 0,6018 \cdot v_{Bf} = 4 $
- $ v_{Af}^2 + v_{Bf}^2 = 16 $
Vamos resolver esse sistema.
Passo 11
Vamos isolar uma das variáveis na primeira equação. Por exemplo:
Passo 12
Substituímos v_Af na segunda equação:
Resolvendo essa equação para v_Bf.
Passo 13
Após resolver as equações, encontramos:
Resposta
Após a colisão, a velocidade final da bola A é aproximadamente 3 m/s e a velocidade final da bola B também é de aproximadamente 3 m/s.