A força de resistência do ar,
, para corpos relativamente massivos como carros, aviões etc. e com velocidade altas, pode ser modelada como sendo proporcional ao quadrado do módulo velocidade
e cujo sentido é sempre contrário ao da mesma:
, onde
é uma constante que depende da geometria do corpo, da área de contato com o ar e da densidade do ar, e
. Considere um corpo de massa
em queda livre inicialmente em repouso. Orientando o eixo
verticalmente para baixo, encontre:
a) a velocidade em função do tempo
b) a velocidade terminal, ou seja, a velocidade para
c) a posição em função do tempo.
a) a velocidade em função do tempo
b) a velocidade terminal, ou seja, a velocidade para
c) a posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
- Força de resistência do ar:
, onde e . - Corpo de massa
em queda livre, eixo orientado para baixo. - Condição inicial: em
o corpo está em repouso, ou seja, . - Não foi dado explicitamente o deslocamento inicial; vou tomar a origem
para obter uma expressão de com a constante determinada.
O que o enunciado pede:
a) encontrar a velocidade em função do tempo
;
b) encontrar a velocidade terminal, isto é ;
c) encontrar a posição em função do tempo
.
a) encontrar a velocidade
b) encontrar a velocidade terminal, isto é
c) encontrar a posição
Passo 2
Escrevendo as forças na direção vertical (positiva para baixo) e aplicando a segunda lei de Newton.
- Peso atuando para baixo tem módulo
. - Força de arrasto, sempre oposta à velocidade. Como o corpo cai para baixo e
nessa direção, a força de arrasto tem sentido para cima e módulo . Em coordenada com sentido para baixo essa força entra com sinal negativo: .
Portanto, a equação da dinâmica é
onde
é a velocidade para baixo (positiva quando o corpo desce). Vou definir a constante
para simplificar as contas; assim a ODE fica
Explicação curta do passo: usou-se
com sinais coerentes; a resistência é proporcional a
e indica-se com sinal negativo porque aponta para cima.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis.
A ODE é separável, ou seja, pode-se escrever todos os termos em
num lado e em
no outro:
Técnica usada (repasse didático): separar variáveis significa reorganizar a equação para ter alguma função de
multiplicando
igual a alguma função de
multiplicando
. Em seguida integra-se ambos os lados. Aqui o lado esquerdo dependerá só de
e o direito só de
.
Agora integraremos com a condição inicial
.
Passo 4
Cálculo explícito da integral do lado esquerdo.
Primeiro fatoramos
:
Defina
(note
). Então precisamos calcular
Conhecimento útil (fórmula): para
,
Portanto, com
tem-se
Isolando a integral:
Voltando ao fator
, a integração completa da separação dá
Agora substituímos
. Observe que
Usando a condição inicial
: na equação integrada, para
a arctanh de zero é zero, então
. Assim obtemos
Passo 5
Isolando
a partir da expressão com
.
Aplicando
nos dois lados (inversa da
):
Logo
Agora introduzimos uma notação física mais intuitiva: a velocidade terminal
será
Também note que
Assim uma forma muito usada da solução é
Explicação didática curta sobre funções hiperbólicas:
e
. A derivada
é análoga à derivada de funções trigonométricas, e foi usada implicitamente via a primitiva da forma
.
Passo 6
Determinação da velocidade terminal (parte b) e interpretação física.
A velocidade terminal é o limite quando
. Como
quando
, obtemos
Interpretação: no regime estacionário a força de arrasto equilibra o peso, isto é
, daí
. Isso confirma a solução obtida.
Passo 7
Encontrando a posição
(parte c) integrando
.
Como adotamos
e o eixo para baixo é positivo, temos
Fórmula útil:
. Então
Fazendo a mudança
(então
, ou
), obtemos
Usando
podemos escrever também numa forma mais simples:
Verificação rápida (didática): para
,
, então
ou seja, no instante inicial a queda começa como se não houvesse arrasto (aceleração
), o que é consistente porque
é pequeno e o termo em
é desprezível.