Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo k a constante de proporcionalidade e V0 o volume inicial da bola, determine o volume
ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo? (Resp:
.
Passo 1
O enunciado diz que o volume
de uma bola de naftalina satisfaz a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Separamos variáveis:
Agora integramos dos dois lados:
Como
, obtemos
Passo 3
Usando
no resultado acima:
logo
Elevando ao cubo,
Passo 4
Para encontrar o tempo
em que
, impomos