Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo k a constante de proporcionalidade e V0 o volume inicial da bola, determine o volume V(t) ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo? (Resp: V^prime(t)=-k V(t)^2 / 3 ; V(t)=(-k t / 3+V0^1 / 3)^3 ; t^*= 3k(V0)^1 / 3).

Passo 1

O enunciado diz que o volume V(t) de uma bola de naftalina satisfaz a equação diferencial
V'(t)=-k,V(t)^2/3,
com condição inicial V(0)=V0. O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Separamos variáveis:
dVV^2/3=-k,dt
Agora integramos dos dois lados:
integral V^-2/3,dV=integral -k,dt
Como integral V^-2/3,dV=3,V^1/3, obtemos
3,V^1/3=-k,t+C

Passo 3

Usando V(0)=V0 no resultado acima:
3,V0^1/3=C,
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3,V^1/3=-k,t+3,V0^1/3 Longrightarrow V^1/3=V0^1/3-k3,t
Elevando ao cubo,
V(t)=l(V0^1/3-tfrack3,tr)^3

Passo 4

Para encontrar o tempo t^* em que V(t^*)=0, impomos
V0^1/3-k3,t^*=0 Longrightarrow t^*=3,V0^1/3k

Resposta

V(t)=l(V0^1/3-tfrack3tr)^3
t^*=dfrac3,V0^1/3k

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