Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=1x+2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de g(x)=1x+2 e fazer um esboço do seu gráfico. Vamos usar as ideias de função racional: identificar onde o denominador zera (para excluir do domínio), depois estudar assimptotas e comportamento da função em cada intervalo.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos que o denominador seja diferente de zero:
x+2 neq 0
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x neq -2
Portanto o domínio de g é
(-infty,-2),cup,(-2,infty)

Passo 3

Agora buscamos as assimptotas.
  1. Vertical em x=-2, pois quando xto -2^- ou xto -2^+, lvert g(x)rverttoinfty.
  2. Horizontal em y=0, pois quando xtopminfty, o termo 1x+2to0.

Passo 4

Analisando o sinal e o comportamento em cada ramo:
  • Para x>-2, o denominador é positivo, então g(x)>0. Quando xto -2^+, g(x)to +infty; quando xto+infty, g(x)to0^+. A função é decrescente nesse intervalo.
  • Para x<-2, o denominador é negativo, então g(x)<0. Quando xto -2^-, g(x)to -infty; quando xto -infty, g(x)to0^-. A função é crescente nesse intervalo.
Alguns pontos para ajudar no esboço:
g(-1)=1, g(0)=tfrac12, g(-3)=-1, g(-4)=-tfrac12

Passo 5

Com essas informações, o esboço é uma hipérbole com dois ramos:
  • Um ramo no quadrante I (para x>-2) aproximando-se de x=-2 verticalmente e de y=0 horizontalmente.
  • Outro ramo no quadrante III (para x<-2) aproximando-se de x=-2 e de y=0.

Resposta

Domínio: (-infty,-2)cup(-2,infty).
Gráfico: hipérbole deslocada 2 unidades para a esquerda, com assimptotas x=-2 (vertical) e y=0 (horizontal).

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