O número de indivíduos de uma certa população segue a Lei de crescimento logístico:
d Pd t=0.01 P(t)-10^-8 P(t)^2
Onde o tempo t é medido em anos. Supor que a população é de 100.000 indivíduos no ano 1980. Determine:
(a) A população como uma função do tempo t (P(t)=c e^0.01 t1+c 10^-6 e^0.01 t)
(b) A população no ano 2015.
(c) O ano em que será duplicada a população de 1980.(Resp.: 2061)
(d) O comportamento da população quando t infty. ( Resp.:10 ^6 )

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento logístico dado por
dPdt = 0,01,P(t) - 10^-8,P(t)^2
com condição inicial P(0)=100,000 indivíduos em 1980. Precisamos usar a forma geral da solução logística
P(t)=c,e^0,01,t1 + c,10^-6,e^0,01,t
para (a) ajustar a constante c, depois (b) calcular P(35) em 2015, (c) achar t tal que P(t)=2cdot10^5 e (d) estudar P(t) quando ttoinfty.

Passo 2

Para t=0 temos
P(0)=c1 + c,10^-6 = 100,000
Multiplicando em ambos os lados:
c = 100,000l(1 + c,10^-6r) Longrightarrow c - 0,1,c = 100,000 Longrightarrow 0,9,c = 100,000 Longrightarrow c = 100,0000,9 approx 111,111,11
Logo a solução ajustada é
P(t) = 111,111,11,e^0,01,t1 + 111,111,11cdot10^-6,e^0,01,t = 111,111,11,e^0,01,t1 + 0,11111111,e^0,01,t

Passo 3

Para o ano 2015 temos t=2015-1980=35. Então
P(35) = 111,111,11,e^0,351 + 0,11111111,e^0,35 approx 111,111,11times1,419071 + 0,11111111times1,41907 approx 157,674,21,1576742 approx 136,210

Passo 4

Para duplicar a população de 1980 queremos P(t)=200,000. Da fórmula:
200,000 = 111,111,11,e^0,01,t1 + 0,11111111,e^0,01,t
200,000l(1 + 0,11111111,e^0,01,tr) =111,111,11,e^0,01,t Longrightarrow 200,000 = 88,888,89,e^0,01,t Longrightarrow e^0,01,t = 200,00088,888,89 = 2,25
0,01,t = ln(2,25)approx0,81093 Longrightarrow tapprox81,093
Isso corresponde ao ano 1980 + 81,093 approx 2061.

Passo 5

O limite quando ttoinfty de uma logística
limttoinftyP(t)=0,0110^-8=10^6
Ou seja, a população tende a 10^6 indivíduos.

Resposta

(a) P(t) = 111,111,11,e^0,01,t1 + 0,11111111,e^0,01,t
(b) P(35)approx136,210.
(c) Ano de duplicação: 2061.
(d) limttoinftyP(t)=10^6

Exercícios relacionados