Uma bola de neve derrete-se a uma taxa de 1 / 4 dm^3 / min sem perder a forma esférica. No instante em que seu raio é de 2 dm , a que taxa o mesmo varia?.

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de neve, mantida em forma esférica, tem seu volume diminuindo à razão de tfrac14, dm^3/min. No instante em que o raio vale 2, dm, queremos saber a taxa tfracdrdt. O conteúdo é de equações de taxas relacionadas e geometria de esferas.

Passo 2

A relação entre volume V de uma esfera e seu raio r é
V = 43,pi,r^3

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, usando derivada de r^3 por t, obtemos
dVdt = 4,pi,r^2,drdt

Passo 4

Isolando tfracdrdt, vem
drdt = tfracdVdt4,pi,r^2

Passo 5

No instante considerado temos tfracdVdt=-tfrac14, dm^3/min e r=2, dm. Substituindo,
drdt = -tfrac144,pi,(2)^2 = -,14,cdot116pi = -,164pi dm/min

Resposta

drdt = -164pi dm/min

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