Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral1^2 x e^3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 x e^3 x^2 , dx usando a regra da substituição. Aqui, estamos trabalhando com integrais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função e^3x^2, percebo que o expoente 3x^2 pode ser uma boa escolha para substituição. Então, vamos deixar:
u = 3x^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 6x
Isso significa que:
du = 6x , dx
Para isolar x , dx, dividimos ambos os lados por 6:
x , dx = du6

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral1^2 x e^3x^2 , dx = integralu=3^u=12 e^u cdot du6
Podemos tirar a constante 16 para fora da integral:
16 integral3^12 e^u , du
A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u, então:
16 [ e^u ]3^12 = 16 ( e^12 - e^3 )

Resposta

A integral integral1^2 x e^3 x^2 , dx é igual a e^12 - e^36.

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