Um homem em um cais puxa um bote por uma corda amarrada à proa do mesmo a
acima do nível da água e passando por uma polia simples localizada á beira do cais a
acima do nível da água. Se ele puxa a corda à razão de
, com que velocidade o bote está aproximando-se do cais quando a proa está a 8 m de distância de um ponto diretamente abaixo da polia?
Passo 1
Estamos diante de um problema de taxas relacionadas: um homem puxa a extremidade de uma corda que passa por uma polia e está presa à proa de um bote. Ao puxar a corda, o comprimento
dela diminui à razão de
,m/s, e queremos saber a que taxa a distância horizontal
entre a proa e o ponto diretamente abaixo da polia varia quando
,m.
Passo 2
Definimos
distância horizontal do bote ao cais,
comprimento da corda entre proa e polia,
e notamos que a proa está ,m acima da água e a polia a
,m, logo a diferença vertical é constante de
e notamos que a proa está
Pelo Teorema de Pitágoras, relacionamos
e
:
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Passo 4
Isolando
, vem
Passo 5
No instante pedido temos
,m e
Como o homem puxa a corda encurtando-a,
,m/s. Substituindo,
Passo 6
O sinal negativo indica que
está diminuindo (o bote se aproxima). A velocidade de aproximação do bote ao cais é, em módulo, cerca de
,m/s.
Resposta
O bote aproxima-se do cais com velocidade de aproximadamente
,m/s.