Um homem em um cais puxa um bote por uma corda amarrada à proa do mesmo a 0,5 m acima do nível da água e passando por uma polia simples localizada á beira do cais a 2,5 m acima do nível da água. Se ele puxa a corda à razão de 0,5 m / s, com que velocidade o bote está aproximando-se do cais quando a proa está a 8 m de distância de um ponto diretamente abaixo da polia?

Passo 1

Estamos diante de um problema de taxas relacionadas: um homem puxa a extremidade de uma corda que passa por uma polia e está presa à proa de um bote. Ao puxar a corda, o comprimento L dela diminui à razão de 0,5,m/s, e queremos saber a que taxa a distância horizontal x entre a proa e o ponto diretamente abaixo da polia varia quando x=8,m.

Passo 2

Definimos
;x(t) = distância horizontal do bote ao cais,
;L(t) = comprimento da corda entre proa e polia,
e notamos que a proa está 0,5,m acima da água e a polia a 2,5,m, logo a diferença vertical é constante de
2,5 - 0,5 = 2 m
Pelo Teorema de Pitágoras, relacionamos L e x:
L^2 = x^2 + 2^2

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2,L,dLdt = 2,x,dxdt

Passo 4

Isolando dfracdxdt, vem
x,dxdt = L,dLdt Longrightarrow dxdt = Lx,dLdt

Passo 5

No instante pedido temos x=8,m e
L = raiz8^2 + 2^2 = raiz64 + 4 = raiz68 = 2raiz17 m
Como o homem puxa a corda encurtando-a, dfracdLdt = -0,5,m/s. Substituindo,
dxdt = 2raiz178,l(-0,5r) = -raiz178 m/s approx -0,515 m/s

Passo 6

O sinal negativo indica que x está diminuindo (o bote se aproxima). A velocidade de aproximação do bote ao cais é, em módulo, cerca de 0,515,m/s.

Resposta

O bote aproxima-se do cais com velocidade de aproximadamente 0,515,m/s.

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