Use a Regra da Cadeia para determinar o que se pede: ( 3,0 pontos)
Calcule partial zpartial s, onde z=beta cdot sen(2 alpha beta), alpha=2 beta, beta=12 alpha, beta=3 s+t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial partial zpartial s pela Regra da Cadeia, com z=beta,sen(2alphabeta) e as dependências alpha=2beta, beta=3s+t. O conteúdo é a Regra da Cadeia em várias variáveis e vamos precisar também de derivadas de produto e de seno.

Passo 2

Primeiro, expressamos alpha e beta diretamente em função de s e t: como beta=3s+t e alpha=2beta, temos
alpha=2(3s+t)=6s+2t,beta=3s+t

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de alpha e beta em relação a s:
partialalphapartial s=6,partialbetapartial s=3

Passo 4

Em seguida, derivamos z(alpha,beta)=beta,sen(2alphabeta) em relação a alpha e a beta, tratando a outra como constante:
partial zpartial alpha=betacdotcos(2alphabeta)cdot(2beta)=2beta^2cos(2alphabeta),
partial zpartial beta=sen(2alphabeta)+betacdotcos(2alphabeta)cdot(2alpha)=sen(2alphabeta)+2alphabetacos(2alphabeta)

Passo 5

Aplicamos a Regra da Cadeia:
partial zpartial s=partial zpartial alphapartial alphapartial s+partial zpartial betapartial betapartial s
Substituindo os valores encontrados:
partial zpartial s=l(2beta^2cos(2alphabeta)r)cdot6+l(sen(2alphabeta)+2alphabetacos(2alphabeta)r)cdot3

Passo 6

Para simplificar, usamos alpha=2beta (logo 2alphabeta=4beta^2):
partial zpartial s=12beta^2cos(4beta^2)+3sen(4beta^2)+6alphabetacos(4beta^2) =24beta^2cos(4beta^2)+3sen(4beta^2)

Passo 7

Por fim, voltamos a beta=3s+t:
partial zpartial s=24(3s+t)^2cosl(4(3s+t)^2r)+3senl(4(3s+t)^2r)

Resposta

partial zpartial s=24(3s+t)^2cosl(4(3s+t)^2r)+3senl(4(3s+t)^2r).

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