Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral0^2 x^2x^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^2 x^2x^3+1 , dx usando a regra da substituição. Essa integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para simplificar integrais mais complicadas. Para resolver, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador x^3 + 1. Vamos definir u = x^3 + 1. Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de u, que geralmente é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx
Observe que x^2 , dx está presente na integral original, então podemos isolar x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Substituindo u e x^2 , dx na integral original, temos:
integral x^2x^3+1 , dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u , du
Essa substituição simplificou a integral para 13 integral 1u , du, que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar 1u em relação a u:
13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C aqui.

Passo 6

Substituindo de volta u = x^3 + 1, a integral se torna:
13 ln|x^3 + 1|
Como x^3 + 1 é sempre positivo para x >= 0, podemos remover o valor absoluto:
13 ln(x^3 + 1)

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
13 ln(x^3 + 1) |0^2 = 13 ln(2^3 + 1) - 13 ln(0^3 + 1)
Calculando os valores:
13 ln(8 + 1) - 13 ln(1) = 13 ln(9) - 13 cdot 0 = 13 ln(9)
E como ln(9) = 2ln(3), podemos simplificar ainda mais:
13 cdot 2ln(3) = 23 ln(3)

Resposta

integral0^2 x^2x^3+1 , dx = 23 ln(3)

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