Uma bola de neve esférica está derretendo de modo que seu volume está diminuindo a uma taxa de 1 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Quão rápido o diâmetro está diminuindo quando o diâmetro é 10 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de neve esférica tem volume diminuindo à razão de \frac{dV}{dt}=-1\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} e pede a rapidez com que o diâmetro varia quando este vale 10\\ \mathrm{cm}. O conteúdo é taxas relacionadas: usaremos a fórmula do volume de uma esfera e relacionaremos \frac{dV}{dt}, \frac{dr}{dt} e \frac{dd}{dt}.

Passo 2

A fórmula do volume em função do raio r é
V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 3

Diferenciando em relação ao tempo t, obtemos
\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Quando o diâmetro d=10\\ \mathrm{cm}, o raio é r=5\\ \mathrm{cm}. Substituindo \frac{dV}{dt}=-1 e r=5 na expressão anterior:
-1 = 4\pi \,(5)^2 \,\frac{dr}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{4\pi \cdot 25} = -\frac{1}{100\pi}\\ \mathrm{cm/min}.

Passo 5

Como o diâmetro e o raio estão ligados por d=2r, temos
\frac{dd}{dt} = 2\,\frac{dr}{dt} = 2\Bigl(-\frac{1}{100\pi}\Bigr) = -\frac{1}{50\pi}\\ \mathrm{cm/min}.

Resposta

\frac{dd}{dt} = -\frac{1}{50\pi}\\ \mathrm{cm/min}.

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