3 Calcule o volume do sólido que está na porçāo positiva do eixo z e entre
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está na região
,
entre as superfícies de cone
entre as superfícies de cone
e entre as esferas
Para esse tipo de região, o mais natural é usar coordenadas esféricas, onde
e o elemento de volume é
Passo 2
Precisamos achar os limites em
dados pelos cones.
No primeiro cone
temos
No primeiro cone
temos
No segundo cone
dá
dá
Como queremos
entre
e
, o ângulo
varia de
Passo 3
Para as esferas
vai de
até
. O ângulo azimutal
percorre todo o círculo, ou seja
Passo 4
Montamos a integral tripla em esféricas:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
E por fim em
dá fator
. Assim