3 Calcule o volume do sólido que está na porçāo positiva do eixo z e entre
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad z=\sqrt{\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{3}} \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está na região
\,z\ge0,
entre as superfícies de cone
z=\sqrt{x^2+y^2} \quad\text{e}\quad z=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}},
e entre as esferas
x^2+y^2+z^2=4 \quad\text{e}\quad x^2+y^2+z^2=9.
Para esse tipo de região, o mais natural é usar coordenadas esféricas, onde
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^2\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Precisamos achar os limites em \varphi dados pelos cones.
No primeiro cone
z=\sqrt{x^2+y^2}
temos
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
No segundo cone
z=\sqrt{\tfrac{x^2+y^2}{3}}
\rho\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt3}\,\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{3}.
Como queremos z entre \sqrt{(x^2+y^2)/3} e \sqrt{x^2+y^2}, o ângulo \varphi varia de
\varphi=\frac{\pi}{4} \quad\text{até}\quad \varphi=\frac{\pi}{3}.é

Passo 3

Para as esferas \rho vai de 2 até 3. O ângulo azimutal \theta percorre todo o círculo, ou seja
0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

Montamos a integral tripla em esféricas:
V =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/3}\!\int_{\rho=2}^{3} \rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em \rho:
\int_{2}^{3}\rho^2\,d\rho =\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2}^{3} =\frac{27-8}{3} =\frac{19}{3}.
Depois em \varphi:
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi/3} =-\cos\!\tfrac{\pi}{3}+\cos\!\tfrac{\pi}{4} =-\tfrac12+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2-1}{2}.
E por fim em \theta dá fator 2\pi. Assim
V =2\pi\;\frac{19}{3}\;\frac{\sqrt2-1}{2} =\frac{19\pi}{3}(\sqrt2-1).

Resposta

V=\frac{19\pi}{3}\,(\sqrt2-1).

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