Se x^{2}+3 x y+y^{2}=1 \mathrm{e} d y / d t=2, encontre d x / d t quando y=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}+3xy+y^{2}=1
e pede \dfrac{dx}{dt} quando y=1 e \dfrac{dy}{dt}=2. Para resolver, usaremos derivação implícita em relação a t e depois avaliaremos nos pontos de interesse.

Passo 2

Para achar os pontos da curva com y=1, substituímos em
x^{2}+3xy+y^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+3x\cdot1+1^{2}=1
Logo
x^{2}+3x+1=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+3x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x+3)=0
Assim, os pontos são (x,y)=(0,1) e (x,y)=(-3,1).

Passo 3

Derivamos implicitamente ambos os lados em relação a t. A derivada de cada termo é:
  • \dfrac{d}{dt}(x^{2})=2x\,\dfrac{dx}{dt}
  • \dfrac{d}{dt}(3xy)=3\bigl(x\,\dfrac{dy}{dt}+y\,\dfrac{dx}{dt}\bigr)
  • \dfrac{d}{dt}(y^{2})=2y\,\dfrac{dy}{dt}
    Como o lado direito é constante, sua derivada é zero. Assim,
2x\,\frac{dx}{dt}+3\Bigl(x\,\frac{dy}{dt}+y\,\frac{dx}{dt}\Bigr)+2y\,\frac{dy}{dt}=0.

Passo 4

Agrupamos os termos de \dfrac{dx}{dt} e de \dfrac{dy}{dt}:
(2x+3y)\,\frac{dx}{dt}+(3x+2y)\,\frac{dy}{dt}=0
Isolando \dfrac{dx}{dt}:
\frac{dx}{dt} =-\frac{3x+2y}{2x+3y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituímos \dfrac{dy}{dt}=2 e avaliamos em y=1:
Para (x,y)=(0,1):
\frac{dx}{dt} =-\frac{3\cdot0+2\cdot1}{2\cdot0+3\cdot1}\,2 =-\frac{2}{3}\,2 =-\frac{4}{3}.
Para (x,y)=(-3,1):
\frac{dx}{dt} =-\frac{3\cdot(-3)+2\cdot1}{2\cdot(-3)+3\cdot1}\,2 =-\frac{-9+2}{-6+3}\,2 =-\frac{-7}{-3}\,2 =-\frac{7}{3}\,2 =-\frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{4}{3} ou \displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{14}{3}, dependendo do ponto em que x vale 0 ou -3, respectivamente.

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