Questão 1. Calcule a área e a massa das seguintes superfícies:
z=1-x^{2}, 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 2, sendo a densidade superficial \delta(x, y, z)=2 x;

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = 1 - x^2,
sobre o domínio
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 2\},
e densidade superficial \delta(x,y,z)=2x.
O que precisamos é:
  1. Calcular a área A=\iint_{S}dS usando dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.
  2. Calcular a massa m=\iint_{S}\delta\,dS.

Passo 2

Primeiro, f(x,y)=1-x^2 tem derivadas parciais
f_x = -2x, \quad f_y = 0.
Logo
dS = \sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}\,dA = \sqrt{1 + 4x^2}\,dA.
Portanto a área é
A = \iint_D \sqrt{1+4x^2}\,dA.

Passo 3

Separe as integrais em x e y:
A = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2} \sqrt{1+4x^2}\,dy\,dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1+4x^2}\,dx.
Para
\displaystyle \int \sqrt{1+4x^2}\,dx
use a fórmula padrão
\int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2x + \sqrt{1+4x^2}\bigr) + C.
Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} \sqrt{1+4x^2}\,dx = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2 + \sqrt{5}\bigr).

Passo 4

Multiplicando por 2 obtém-se a área final:
A = 2\Bigl(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5})\Bigr) = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 5

Para a massa,
m = \iint_S \delta\,dS = \iint_D 2x\,\sqrt{1+4x^2}\,dA = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2}2x\sqrt{1+4x^2}\,dy\,dx = 2\int_{0}^{1}2x\sqrt{1+4x^2}\,dx = 4\int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx.

Passo 6

Calcule
\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx
fazendo u=1+4x^2, du=8x\,dx:
\int_{0}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx = \frac{1}{8}\int_{u=1}^{5}u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl(u^{3/2}\bigr)\Big|_{1}^{5} = \frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).
Logo
m = 4\cdot\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

Área: \displaystyle \sqrt{5} + \tfrac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)
Massa: \displaystyle \tfrac{1}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

Exercícios relacionados