Se x y=1 \mathrm{e} d x / d t=4, encontre d y / d t quando x=2.

Passo 1

Resumindo o que temos: a relação é
x\,y = 1,
sabemos que \frac{dx}{dt}=4 e queremos achar \frac{dy}{dt} quando x=2. Esse é um caso de taxas relacionadas usando derivada implícita em função do tempo.

Passo 2

Derivando implicitamente
x\,y = 1
em relação a t, usando regra do produto, obtemos
\frac{dx}{dt}\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dt}, temos
x\cdot\frac{dy}{dt} = -\,y\cdot\frac{dx}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\,\frac{y}{x}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

Quando x=2, pela relação x\,y=1 segue y=\frac{1}{x}=\frac12. Substituindo x=2, y=\tfrac12 e \frac{dx}{dt}=4 em
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{y}{x}\,\frac{dx}{dt}
temos
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{\tfrac12}{2}\cdot 4 = -1.

Resposta

-1

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