Uma bola de raio r é cortada em duas partes por um plano horizontal a a unidades acima do centro da bola. Determine o volume da parte superior utilizando o método das cascas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola (esfera) com raio
que foi cortada por um plano horizontal que está
unidades acima do centro da bola. Nosso objetivo é encontrar o volume da parte de cima dessa esfera usando o método das cascas cilíndricas.
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integração, para calcular volumes de sólidos de revolução. O método das cascas cilíndricas é uma técnica que nos ajuda a somar infinitos cilindros fininhos (as “cascas”) para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera centrada na origem de um sistema de coordenadas. O plano horizontal que corta a esfera está a uma distância
acima do centro. Queremos encontrar o volume da “tampa” superior dessa esfera.
Para usar o método das cascas cilíndricas, vamos considerar uma casca cilíndrica genérica dentro dessa tampa. Vamos integrar essas cascas do ponto mais baixo da tampa até o topo da esfera.
Passo 3
Vamos definir uma coordenada vertical
, onde
está no centro da esfera e
é onde o plano corta a esfera. A altura da tampa que queremos encontrar é de
até
.
A equação da esfera centrada na origem é:
Para cada valor de
na nossa região de interesse, podemos encontrar o raio da casca cilíndrica correspondente.
Passo 4
Resolvendo a equação da esfera para
, temos:
Esse
representa o raio da casca cilíndrica a uma altura
.
A circunferência da casca cilíndrica é
, e a espessura da casca é
. Portanto, o volume de uma casca infinitesimal é:
Passo 5
Agora, para encontrar o volume total da tampa superior, precisamos integrar
de
até
:
Essa integral nos dá o volume somando todas as cascas cilíndricas da altura
até o topo da esfera.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou reconhecendo que é relacionada à área de um círculo. A solução dessa integral resulta na fórmula do volume da tampa esférica:
Resposta
O volume da parte superior da esfera é dado por: