Uma bola de raio r é cortada em duas partes por um plano horizontal a a unidades acima do centro da bola. Determine o volume da parte superior utilizando o método das cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola (esfera) com raio r que foi cortada por um plano horizontal que está a unidades acima do centro da bola. Nosso objetivo é encontrar o volume da parte de cima dessa esfera usando o método das cascas cilíndricas.
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integração, para calcular volumes de sólidos de revolução. O método das cascas cilíndricas é uma técnica que nos ajuda a somar infinitos cilindros fininhos (as “cascas”) para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera centrada na origem de um sistema de coordenadas. O plano horizontal que corta a esfera está a uma distância a acima do centro. Queremos encontrar o volume da “tampa” superior dessa esfera.
Para usar o método das cascas cilíndricas, vamos considerar uma casca cilíndrica genérica dentro dessa tampa. Vamos integrar essas cascas do ponto mais baixo da tampa até o topo da esfera.

Passo 3

Vamos definir uma coordenada vertical y , onde y = 0 está no centro da esfera e y = a é onde o plano corta a esfera. A altura da tampa que queremos encontrar é de y = a até y = r .
A equação da esfera centrada na origem é:
x^2 + y^2 = r^2
Para cada valor de y na nossa região de interesse, podemos encontrar o raio da casca cilíndrica correspondente.

Passo 4

Resolvendo a equação da esfera para x , temos:
x = raizr^2 - y^2
Esse x representa o raio da casca cilíndrica a uma altura y .
A circunferência da casca cilíndrica é 2pi x , e a espessura da casca é dy . Portanto, o volume de uma casca infinitesimal é:
dV = 2pi x cdot dy = 2pi raizr^2 - y^2 cdot dy

Passo 5

Agora, para encontrar o volume total da tampa superior, precisamos integrar dV de y = a até y = r :
V = integrala^r 2pi raizr^2 - y^2 , dy
Essa integral nos dá o volume somando todas as cascas cilíndricas da altura a até o topo da esfera.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
V = 2pi integrala^r raizr^2 - y^2 , dy
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou reconhecendo que é relacionada à área de um círculo. A solução dessa integral resulta na fórmula do volume da tampa esférica:
V = pi3 ( (3r - a) a^2 )

Resposta

O volume da parte superior da esfera é dado por:
V = pi a^2 (3r - a)3

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