Uma partícula em movimento retilíneo apresenta equação de movimento
, em unidades SI. Determine (a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula, (b) o instante em que a partícula passa pela origem do eixo, (c) a equação de velocidade e (d) o instante em que há inversão no sentido de movimento.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento (posição como função do tempo) e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
- A equação do movimento:
, em unidades SI (metros para e segundos para ).
O que o enunciado pede:
- (a) posição inicial, velocidade inicial e aceleração da partícula;
- (b) o(s) instante(s) em que a partícula passa pela origem do eixo (
); - (c) a equação da velocidade
; - (d) o instante em que há inversão do sentido de movimento.
Passo 2
Entendendo o que significa “inicial” e como obter a posição inicial e a velocidade inicial.
- Posição inicial significa a posição no instante
. Para obter basta substituir na expressão dada para . - Velocidade instantânea
é a derivada temporal da posição: . Para obter a velocidade inicial calcula-se .
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Cálculo da posição inicial.
Substituindo em
:
Substituindo
Portanto a posição inicial é
metros. (Interpretação rápida: a partícula começa à direita da origem, a
.)
Passo 4
Como derivar
para obter
: regras rápidas de derivada usadas aqui.
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
é . - A derivada de
é (regra da potência: ).
Aplicando essas regras:
Agora a velocidade inicial:
Portanto a velocidade inicial é
. (Sinal negativo indica que inicialmente a partícula se move no sentido dos
decrescentes — para a esquerda.)
Passo 5
Definição e cálculo da aceleração.
- A aceleração
é a derivada da velocidade: .
Derivando:
A aceleração é constante e igual a
. (Significado: a velocidade aumenta linearmente em
a cada segundo.)
Passo 6
Encontrar o(s) instante(s) em que a partícula passa pela origem (
).
Resolver a equação
Resolver a equação
Reescrevendo em forma padrão:
Esta é uma equação quadrática que pode ser fatorada:
Logo as raízes são
e
. Ambos são instantes físicos (positivos), portanto a partícula passa pela origem em
e novamente em
.
Passo 7
Determinar o instante de inversão do sentido do movimento.
- Inversão do sentido ocorre quando a velocidade muda de sinal, isto é quando
.
Resolver
Atenção: verificar cálculo — refazer:
dá
e
. Contudo no passo anterior a fatoração deu raízes em
e
. Preciso checar: a derivada de
é
e a derivada de
é
, logo
. Então
. Então a inversão ocorre em
.
Vou confirmar consistência com passagens pela origem: em
e
a posição é zero; em
a velocidade é zero — isso significa que a partícula passa pela origem em
, continua além, para em
(troca de sentido) e volta para cruzar a origem novamente em
. Para entender melhor o sinal de
:
- Para
, por exemplo , (negativo) → movimento para a esquerda. - Para
, por exemplo , (positivo) → movimento para a direita.
Portanto a inversão do sentido de movimento ocorre em.
Passo 8
Resumo físico e verificação rápida (pequena interpretação que ajuda na prova).
- Começa em
movendo-se para a esquerda ( ) com aceleração positiva ( ), ou seja, o módulo da velocidade diminui até ficar zero, depois a partícula inverte e passa a mover-se para a direita. - Ela alcança a origem em
, continua, para momentaneamente em (inversão), e volta a cruzar a origem em .
Resposta
(a)
(b) e
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)