Uma partícula em movimento retilíneo apresenta equação de movimento x=6-5 t+t^{2}, em unidades SI. Determine (a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula, (b) o instante em que a partícula passa pela origem do eixo, (c) a equação de velocidade e (d) o instante em que há inversão no sentido de movimento.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento (posição como função do tempo) e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • A equação do movimento: x(t)=6-5t+t^{2}, em unidades SI (metros para x e segundos para t).
O que o enunciado pede:
  • (a) posição inicial, velocidade inicial e aceleração da partícula;
  • (b) o(s) instante(s) em que a partícula passa pela origem do eixo ( x=0);
  • (c) a equação da velocidade v(t);
  • (d) o instante em que há inversão do sentido de movimento.

Passo 2

Entendendo o que significa “inicial” e como obter a posição inicial e a velocidade inicial.
  • Posição inicial significa a posição no instante t=0. Para obter x(0) basta substituir t=0 na expressão dada para x(t).
  • Velocidade instantânea v(t) é a derivada temporal da posição: v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Para obter a velocidade inicial calcula-se v(0).
    Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Cálculo da posição inicial.
Substituindo t=0 em x(t):
x(0)=6-5\cdot 0 + 0^{2}=6.
Portanto a posição inicial é \;x(0)=6 metros. (Interpretação rápida: a partícula começa à direita da origem, a 6\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Como derivar x(t) para obter v(t): regras rápidas de derivada usadas aqui.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de -5t é -5.
  • A derivada de t^{2} é 2t (regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}).
Aplicando essas regras:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-5+2t.
Agora a velocidade inicial:
v(0)=-5+2\cdot 0=-5.
Portanto a velocidade inicial é \;v(0)=-5\\ \mathrm{m/s}. (Sinal negativo indica que inicialmente a partícula se move no sentido dos x decrescentes — para a esquerda.)

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração.
  • A aceleração a(t) é a derivada da velocidade: a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
    Derivando v(t)=-5+2t:
a(t)=\frac{dv}{dt}=2.
A aceleração é constante e igual a \;2\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Significado: a velocidade aumenta linearmente em 2\\ \mathrm{m/s} a cada segundo.)

Passo 6

Encontrar o(s) instante(s) em que a partícula passa pela origem ( x=0).
Resolver a equação
x(t)=6-5t+t^{2}=0.
Reescrevendo em forma padrão:
t^{2}-5t+6=0.
Esta é uma equação quadrática que pode ser fatorada:
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3).
Logo as raízes são t=2 e t=3. Ambos são instantes físicos (positivos), portanto a partícula passa pela origem em t=2\\ \mathrm{s} e novamente em t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Determinar o instante de inversão do sentido do movimento.
  • Inversão do sentido ocorre quando a velocidade muda de sinal, isto é quando v(t)=0.
    Resolver
v(t)=-5+2t=0 \quad\Rightarrow\quad 2t=5 \quad\Rightarrow\quad t= \frac{5}{2}=2{,}5?
Atenção: verificar cálculo — refazer: -5+2t=0 2t=5 e t=2{,}5. Contudo no passo anterior a fatoração deu raízes em t=2 e t=3. Preciso checar: a derivada de t^{2} é 2t e a derivada de -5t é -5, logo v(t)=-5+2t. Então v(t)=0\Rightarrow t=2{,}5. Então a inversão ocorre em t=2{,}5\\ \mathrm{s}.
Vou confirmar consistência com passagens pela origem: em t=2 e t=3 a posição é zero; em t=2{,}5 a velocidade é zero — isso significa que a partícula passa pela origem em t=2, continua além, para em t=2{,}5 (troca de sentido) e volta para cruzar a origem novamente em t=3. Para entender melhor o sinal de v(t):
  • Para t<2{,}5, por exemplo t=0, v(0)=-5 (negativo) → movimento para a esquerda.
  • Para t>2{,}5, por exemplo t=3, v(3)=-5+6=1 (positivo) → movimento para a direita.
    Portanto a inversão do sentido de movimento ocorre em \;t=2{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida (pequena interpretação que ajuda na prova).
  • Começa em x=6\\ \mathrm{m} movendo-se para a esquerda ( v(0)=-5\\ \mathrm{m/s}) com aceleração positiva ( a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}), ou seja, o módulo da velocidade diminui até ficar zero, depois a partícula inverte e passa a mover-se para a direita.
  • Ela alcança a origem em t=2\\ \mathrm{s}, continua, para momentaneamente em t=2{,}5\\ \mathrm{s} (inversão), e volta a cruzar a origem em t=3\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) x(0)=6\\ \mathrm{m},\quad v(0)=-5\\ \mathrm{m/s},\quad a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) t=2\\ \mathrm{s} e t=3\\ \mathrm{s}
(c) v(t)=-5+2t\\ \mathrm{m/s}
(d) t=2{,}5\\ \mathrm{s}

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