Uma bola de tênis cai do telhado de um edifício, sem velocidade inicial . Um observador parado na frente de uma janela de 1,4 m de altura, nota que a bola leva
segundos para cair desde o alto da janela até sua base. A bola continua a cair choca-se elasticamente com a calçada horizontal e reaparece na parte inferior da janela 3 s depois de ter passado naquele ponto na descida. Considerando que no choque elástico há conservação de energia, determine a altura do edifício
Passo 1
Beleza, a ideia é essa: uma bolinha de tênis parte do repouso lá no telhado (altura H acima do chão), passa por uma janela de 1,4 m de altura, demora 1/8 s para ir do topo ao fundo dessa janela, cai até o chão, rebate elasticamente (sem perder energia) e reaparece no fundo da janela 3 s depois de ter passado ali na descida.
Matéria: cinemática (movimento uniformemente acelerado) e conservação de energia no choque.
Vamos precisar de:
Matéria: cinemática (movimento uniformemente acelerado) e conservação de energia no choque.
Vamos precisar de:
- As equações do MUV:
s = v₀t + ½·g·t²
v = v₀ + g·t
v² = v₀² + 2·g·s - A constante g = 9,8 m/s²
- Entender que, no choque elástico, a velocidade “bate” no chão e volta com mesma magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade v₁ com que a bolinha passa pelo topo da janela.
Usamos
1,4 = v₁·(1/8) + ½·g·(1/8)²
⇨ 1,4 = v₁/8 + (½·9,8)/64 = v₁/8 + 9,8/128
⇨ v₁/8 = 1,4 – 9,8/128 ≃ 1,4 – 0,0766 = 1,3234
⇨ v₁ ≃ 1,3234·8 = 10,587 m/s (para baixo)
Usamos
1,4 = v₁·(1/8) + ½·g·(1/8)²
⇨ 1,4 = v₁/8 + (½·9,8)/64 = v₁/8 + 9,8/128
⇨ v₁/8 = 1,4 – 9,8/128 ≃ 1,4 – 0,0766 = 1,3234
⇨ v₁ ≃ 1,3234·8 = 10,587 m/s (para baixo)
Passo 3
Agora a velocidade v₂ ao chegar no fundo da janela (uso v = v₁ + g·t):
v₂ = v₁ + g·(1/8) = 10,587 + 9,8/8 = 10,587 + 1,225 = 11,812 m/s
v₂ = v₁ + g·(1/8) = 10,587 + 9,8/8 = 10,587 + 1,225 = 11,812 m/s
Passo 4
Daqui pra frente, a bolinha cai h₂ metros até o chão, rebate e volta até o mesmo ponto (fundo da janela).
- Tempo da descida de v₂ até o chão: t_desc = (v_ground – v₂)/g
- Na batida elástica, velocidade de subida v₀′ = v_ground, e o tempo de volta até a janela é igual: t_sub = (v_ground – v₂)/g
Total t_desc + t_sub = 2·(v_ground – v₂)/g = 3 s
Logo
(v_ground – v₂) = 3g/2 ⇒ v_ground = v₂ + 3g/2
Mas também v_ground² = v₂² + 2g·h₂ ⇒ (v₂ + 3g/2)² = v₂² + 2g·h₂
Expandindo e isolando h₂:
2g·h₂ = v₂² + 3g·v₂ + (9g²/4) – v₂² = 3g·v₂ + 9g²/4
h₂ = (3v₂)/2 + (9g)/8
Passo 5
Substituindo v₂ = 11,812 m/s e g = 9,8 m/s²:
h₂ = 1,5·11,812 + (9·9,8)/8 ≃ 17,718 + 11,025 = 28,743 m
Então o fundo da janela está a ≃28,74 m do chão.
h₂ = 1,5·11,812 + (9·9,8)/8 ≃ 17,718 + 11,025 = 28,743 m
Então o fundo da janela está a ≃28,74 m do chão.
Passo 6
O topo da janela fica 1,4 m acima disso:
h₁ = h₂ + 1,4 = 28,743 + 1,4 = 30,143 m
h₁ = h₂ + 1,4 = 28,743 + 1,4 = 30,143 m
Passo 7
Finalmente, volta pro começo: a bolinha caiu do telhado (repouso) até o topo da janela, ganhando v₁:
v₁² = 2g·(H – h₁) ⇒ H – h₁ = v₁²/(2g)
Com v₁ = 10,587 m/s:
H – 30,143 = (10,587²)/(2·9,8) ≃ 112,09/19,6 = 5,72
⇒ H = 30,143 + 5,72 = 35,863 m
v₁² = 2g·(H – h₁) ⇒ H – h₁ = v₁²/(2g)
Com v₁ = 10,587 m/s:
H – 30,143 = (10,587²)/(2·9,8) ≃ 112,09/19,6 = 5,72
⇒ H = 30,143 + 5,72 = 35,863 m
Resposta
A altura do edifício é aproximadamente 35,9 m.