Considere que o movimento de uma catapulta é descrito pela equação:
xc(t)=j t+k t^2+l t^3
onde xc é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Ela lança uma pedra com velocidade v0 formando um ângulo de theta com o eixo horizontal em um tempo t0. Dessa forma, determine:
(a) A velocidade da catapulta, em termos de j, k e l;
(b) A aceleração da catapulta, em termos de j, k e l;
(c) O vetor velocidade de lançamento em relação ao solo, em termos de j, k, l, t0 e v0 ;
(d) O alcance horizontal da pedra arremessada em relação ao solo, em termos de j, k, l, t0, v0 e g.
(e) A distância percorrida pela catapulta no intervalo de tempo em que a pedra atinge o solo. Existe algum valor de j, k e l para o qual a catapulta é atingida pela própria pedra que lançou?

Passo 1

A questão aborda uma catapulta que se move horizontalmente, com sua posição descrita por xc(t)=j,t + k,t^2 + l,t^3. Em um instante t0, a catapulta lança uma pedra com velocidade v0 em um ângulo theta em relação à horizontal. Para resolver o problema, utilizaremos derivadas para determinar a velocidade e a aceleração da catapulta, aplicaremos transformações de quadro (movimento relativo) e, finalmente, empregaremos a cinemática de projéteis para calcular o alcance e outros parâmetros relevantes.

Passo 2

Para determinar a velocidade da catapulta, derivamos xc(t) em relação ao tempo:
vc(t)=dxcdt=j + 2k,t +3l,t^2

Passo 3

A aceleração da catapulta é obtida derivando vc(t) em relação ao tempo:
ac(t)=d^2xcdt^2=2k +6l,t

Passo 4

No instante do lançamento t0, a velocidade relativa da pedra é dada por v0 e o ângulo é theta. Em coordenadas, a velocidade relativa é expressa como:
vec vrel=(v0costheta),hatimath+(v0sintheta),hatjmath
A velocidade da pedra em relação ao solo é a soma da velocidade da catapulta em t0 com a velocidade relativa:
vec v( t0 )=l(j+2k,t0+3l,t0^2 + v0costhetar),hatimath + (v0sintheta),hatjmath

Passo 5

O tempo total de voo até que a pedra retorne ao solo é dado por:
De<a t=2,v0sinthetag
A posição horizontal da pedra ao atingir o solo é:
xalcance=xc(t0)+l(vc(t0)+v0costhetar),De<a t
onde podemos substituir xc(t0)=j,t0+k,t0^2+l,t0^3 e vc(t0)=j+2k,t0+3l,t0^2.

Passo 6

A distância percorrida pela catapulta entre t0 e t0+De<a t é:
De<a xc=xc(t0+De<a t)-xc(t0)

Passo 7

Para que a pedra atinja a catapulta no instante do impacto, a posição horizontal da pedra deve ser igual à posição da catapulta. Isso implica que:
xc(t0)+(vc(t0)+v0costheta),De<a t = xc(t0+De<a t)
Essa condição gera uma relação algébrica entre j,k,l. Existem infinitos trios (j,k,l) que satisfazem essa condição, o que significa que é possível escolher valores de j,k,l de modo que a pedra retorne e acerte a catapulta.

Resposta

(a) vc(t)=j+2k,t+3l,t^2
(b) ac(t)=2k+6l,t
(c) vec v(t0)=l(j+2k,t0+3l,t0^2+v0costhetar),hatimath+(v0sintheta),hatjmath
(d) Tempo de voo De<a t=2v0sintheta/g e alcance
xalcance=l(jt0+k t0^2+l t0^3r)+l(j+2k t0+3l t0^2+v0costhetar)2v0sinthetag
(e) Distância percorrida pela catapulta
De<a xc=xc(t0+De<a t)-xc(t0)=l[j(t0+De<a t)+k(t0+De<a t)^2+l(t0+De<a t)^3r]-[j t0+k t0^2+l t0^3]
Para colisão: basta que
xc(t0)+(vc(t0)+v0costheta),De<a t=xc(t0+De<a t),
o que define uma relação entre j,k,l. Existem inúmeros valores que satisfazem, logo a catapulta pode ser atingida pela própria pedra.

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