Considere que o movimento de uma catapulta é descrito pela equação:
onde
é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Ela lança uma pedra com velocidade
formando um ângulo de
com o eixo horizontal em um tempo
. Dessa forma, determine:
(a) A velocidade da catapulta, em termos de
e
;
(b) A aceleração da catapulta, em termos de
e
;
(c) O vetor velocidade de lançamento em relação ao solo, em termos de
e
;
(d) O alcance horizontal da pedra arremessada em relação ao solo, em termos de
e
.
(e) A distância percorrida pela catapulta no intervalo de tempo em que a pedra atinge o solo. Existe algum valor de
e
para o qual a catapulta é atingida pela própria pedra que lançou?
(a) A velocidade da catapulta, em termos de
(b) A aceleração da catapulta, em termos de
(c) O vetor velocidade de lançamento em relação ao solo, em termos de
(d) O alcance horizontal da pedra arremessada em relação ao solo, em termos de
(e) A distância percorrida pela catapulta no intervalo de tempo em que a pedra atinge o solo. Existe algum valor de
Passo 1
A questão aborda uma catapulta que se move horizontalmente, com sua posição descrita por
. Em um instante
, a catapulta lança uma pedra com velocidade
em um ângulo
em relação à horizontal. Para resolver o problema, utilizaremos derivadas para determinar a velocidade e a aceleração da catapulta, aplicaremos transformações de quadro (movimento relativo) e, finalmente, empregaremos a cinemática de projéteis para calcular o alcance e outros parâmetros relevantes.
Passo 2
Para determinar a velocidade da catapulta, derivamos
em relação ao tempo:
Passo 3
A aceleração da catapulta é obtida derivando
em relação ao tempo:
Passo 4
No instante do lançamento
, a velocidade relativa da pedra é dada por
e o ângulo é
. Em coordenadas, a velocidade relativa é expressa como:
A velocidade da pedra em relação ao solo é a soma da velocidade da catapulta em
com a velocidade relativa:
Passo 5
O tempo total de voo até que a pedra retorne ao solo é dado por:
A posição horizontal da pedra ao atingir o solo é:
onde podemos substituir
e
.
Passo 6
A distância percorrida pela catapulta entre
e
é:
Passo 7
Para que a pedra atinja a catapulta no instante do impacto, a posição horizontal da pedra deve ser igual à posição da catapulta. Isso implica que:
Essa condição gera uma relação algébrica entre
. Existem infinitos trios
que satisfazem essa condição, o que significa que é possível escolher valores de
de modo que a pedra retorne e acerte a catapulta.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Tempo de voo e alcance
(b)
(c)
(d) Tempo de voo
(e) Distância percorrida pela catapulta
Para colisão: basta que
o que define uma relação entre
. Existem inúmeros valores que satisfazem, logo a catapulta pode ser atingida pela própria pedra.