Consider the hypothesis test H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} against H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2} with known variances \sigma_{1}=10 and \sigma_{2}=5. Suppose that sample sizes n_{1}=10 and n_{2}=15 and that \bar{x}_{1}=14.2 and \bar{x}_{2}=19.7. Use \alpha=0.05.
Test the hypothesis and find the P-value.

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste as hipóteses
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{vs.}\quad H_{1}:\mu_{1}<\mu_{2}
com nível de significância \alpha=0,05. As informações dadas são:
\sigma_{1}=10,\;\sigma_{2}=5,
n_{1}=10,\;n_{2}=15,
\bar{x}_{1}=14{,}2,\;\bar{x}_{2}=19{,}7.
Queremos (1) decidir se rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05 e (2) calcular o P-valor do teste.

Passo 2

Escolha do método: como as variâncias populacionais \sigma_{1} e \sigma_{2} são conhecidas, o método padrão é o teste Z para a diferença entre duas médias independentes. Esse teste usa a distribuição normal padrão para o estatístico de teste. Não vou usar teste t porque as variâncias foram dadas (conhecidas), e isso simplifica.

Passo 3

Fórmula do estatístico de teste: para testar \mu_{1}=\mu_{2} é conveniente trabalhar com a diferença \bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}. Sob H_{0} (diferença igual a zero), o estatístico Z é
Z=\frac{\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}.
Explicando as variáveis:
  • \bar{X}_{1} e \bar{X}_{2} são as médias amostrais (aqui temos \bar{x}_{1} e \bar{x}_{2} observadas).
  • \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são as variâncias populacionais (aqui 100 e 25).
  • n_{1} e n_{2} são os tamanhos das amostras.
    O denominador é o desvio padrão da diferença das médias. Esse Z segue, sob H_{0}, aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Calcular o denominador (erro padrão da diferença):
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{100}{10}=10,
\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
Somando:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=10+\frac{5}{3}=\frac{35}{3}\approx11{,}666\ldots
Logo o erro padrão é
\sqrt{\frac{35}{3}}\approx3{,}415650255.

Passo 5

Calcular o valor observado do estatístico Z:
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=14{,}2-19{,}7=-5{,}5.
Portanto
Z_{\text{obs}}=\frac{-5{,}5}{\sqrt{35/3}}\approx\frac{-5{,}5}{3{,}415650255}\approx-1{,}6101.
Arredondando, Z_{\text{obs}}\approx-1{,}61.

Passo 6

Determinar a região crítica: é um teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05. O valor crítico da normal padrão é
z_{\alpha}=\Phi^{-1}(0{,}05)\approx-1{,}645.
Região de rejeição: rejeitamos H_{0} se Z_{\text{obs}}<-1{,}645.

Passo 7

Comparação e conclusão: temos Z_{\text{obs}}\approx-1{,}61 que não é menor que -1{,}645. Portanto não há evidência suficiente para rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Em palavras: a diferença observada (média 1 menor que média 2 por 5{,}5) não é estatisticamente significativa ao nível 5\% quando as variâncias são conhecidas.

Passo 8

Cálculo do P-valor: para um teste unilateral à esquerda o P-valor é
P\text{-valor}=P\big(Z\le Z_{\text{obs}}\big)=\Phi(Z_{\text{obs}}).
Usando a simetria da normal:
P\text{-valor}=\Phi(-1{,}6101)=1-\Phi(1{,}6101)\approx1-0{,}9464\approx0{,}0536.
Assim o P-valor aproximado é 0{,}0536, ligeiramente maior que 0{,}05, o que confirma a não rejeição de H_{0}.

Resposta

Não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.\nP-valor =0{,}0536.

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