Consider the hypothesis test
against
with known variances
and
. Suppose that sample sizes
and
and that
and
. Use
.
Test the hypothesis and find the
-value.
Test the hypothesis and find the
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste as hipóteses
com nível de significância
. As informações dadas são:
Queremos (1) decidir se rejeitamos
ao nível
e (2) calcular o
-valor do teste.
Passo 2
Escolha do método: como as variâncias populacionais
e
são conhecidas, o método padrão é o teste
para a diferença entre duas médias independentes. Esse teste usa a distribuição normal padrão para o estatístico de teste. Não vou usar teste
porque as variâncias foram dadas (conhecidas), e isso simplifica.
Passo 3
Fórmula do estatístico de teste: para testar
é conveniente trabalhar com a diferença
. Sob
(diferença igual a zero), o estatístico
é
Explicando as variáveis:
-
e são as médias amostrais (aqui temos e observadas). -
e são as variâncias populacionais (aqui e ). -
e são os tamanhos das amostras.
O denominador é o desvio padrão da diferença das médias. Essesegue, sob , aproximadamente a distribuição normal padrão .
Passo 4
Calcular o denominador (erro padrão da diferença):
Somando:
Logo o erro padrão é
Passo 5
Calcular o valor observado do estatístico
:
Portanto
Arredondando,
.
Passo 6
Determinar a região crítica: é um teste unilateral à esquerda com
. O valor crítico da normal padrão é
Região de rejeição: rejeitamos
se
.
Passo 7
Comparação e conclusão: temos
que não é menor que
. Portanto não há evidência suficiente para rejeitar
ao nível
. Em palavras: a diferença observada (média 1 menor que média 2 por
) não é estatisticamente significativa ao nível
quando as variâncias são conhecidas.
Passo 8
Cálculo do
-valor: para um teste unilateral à esquerda o
-valor é
Usando a simetria da normal:
Assim o
-valor aproximado é
, ligeiramente maior que
, o que confirma a não rejeição de
.
Resposta
Não rejeitar
ao nível
.\nP-valor
.