A semiconductor manufacturer collects data from a new tool and conducts a hypothesis test with the null hypothesis that a critical dimension mean width equals 100 nm . The conclusion is to not reject the null hypothesis. Does this result provide strong evidence that the critical dimension mean equals 100 nm ? Explain.
Passo 1
O enunciado diz que foi feita uma prova de hipótese com hipótese nula de que a média do comprimento crítico é
nm, isto é
e que a conclusão do teste foi "não rejeitar
". A pergunta: isso fornece forte evidência de que a média crítica realmente é
nm?
Informações dadas: a decisão do teste foi "não rejeitar ". Não foram fornecidos valores de amostra (tamanho
, média amostral
, desvio padrão
ou
, nível de significância
, valor-p, ou intervalo de confiança). Essas informações são relevantes mas o enunciado não as fornece.
Informações dadas: a decisão do teste foi "não rejeitar
Passo 2
Entendimento básico do que significa "não rejeitar
" (conceito essencial).
Quando fazemos um teste de hipótese clássico (por exemplo teste t ou z), definimos um nível de significância (por ex.
). O teste calcula uma estatística a partir dos dados e um valor-p. Regra de decisão típica:
Quando fazemos um teste de hipótese clássico (por exemplo teste t ou z), definimos um nível de significância
- se o valor-p
, rejeitamos ; - se o valor-p
, não rejeitamos .
"Não rejeitar
" significa apenas que os dados não forneceram evidência estatística suficiente, ao nível
, para declarar que
difere de
nm. Não é uma prova de que
nm — é apenas falha em demonstrar diferença.
Passo 3
Expliquei o porquê em linguagem mais técnica (mas simples): ausência de evidência não é evidência de ausência.
Imagine que o verdadeiro fosse
nm, mas sua amostra foi pequena ou muito ruidosa: o teste pode não detectar essa diferença e, portanto, não rejeitar
. Isso é um erro do tipo II (falhar em rejeitar
quando
é falsa). A probabilidade desse erro é chamada de
; a potência do teste é
(probabilidade de detectar uma diferença quando ela existe).
Imagine que o verdadeiro
Passo 4
Mostro as fórmulas e como normalmente o teste funciona (sem assumir que você conhece).
Se é conhecido, uma estatística z é
Se
onde
= média amostral,
= desvio padrão da população,
= tamanho da amostra.
Se é desconhecido (o caso comum), usamos a estatística t
Se
onde
é o desvio padrão amostral e
tem
graus de liberdade.
A interpretação: quanto maior em relação ao erro padrão
, mais evidência contra
.
A interpretação: quanto maior
Passo 5
Como avaliar “força da evidência” na prática — duas ferramentas úteis: valor-p e intervalo de confiança.
- Valor-p pequeno (por ex.
) = forte evidência contra . - Valor-p moderado (por ex. entre
e ) = alguma evidência. - Valor-p grande (por ex.
) = fraca evidência contra .
Além disso, um intervalo de confiança (IC) paradá uma faixa plausível de valores. Por exemplo, o IC de quando desconhecido é
Se esse IC é muito amplo (por exemplo,
nm), incluir
nm não é surpreendente e não é forte evidência de que
é exatamente
nm. Se o IC for muito estreito e conter
nm (por exemplo,
nm), então temos uma evidência muito mais forte de que
está muito próximo de
nm.
Passo 6
Dou um exemplo numérico didático para fixar a ideia (faça na prova se pedirem interpretação):
Exemplo A (fraca evidência): nm,
nm,
. Então
Exemplo A (fraca evidência):
valor-p grande (muito maior que
). IC de
:
, margem
, IC
nm — muito largo. Conclusão: não rejeitar
aqui NÃO é forte evidência de que
nm, porque os dados são imprecisos.
Exemplo B (evidência mais forte): nm,
nm,
. Então erro padrão
,
(valor-p ainda pode ser >0{,}1), mas IC de
tem margem
, IC
nm — bem estreito e contendo
. Nesse caso, não rejeitar
combina com alta precisão: forte evidência de que
está bem próximo de
nm.
Exemplo B (evidência mais forte):
Passo 7
Quando você pode afirmar que a média “é igual” a
nm na prática (engenharia)?
- Se seu objetivo é provar igualdade num sentido prático, o teste de hipótese padrão não é a ferramenta adequada para "aceitar
". Em vez disso, use um teste de equivalência (TOST — two one-sided tests) com uma margem de equivalência que você considere negligenciável (por exemplo nm). No TOST você testa
e só aceita equivalência se rejeitar ambas hipóteses nulas separadas; isso permite concluir que
está dentro de
.
- Alternativamente, um intervalo de confiança estreito que caiba dentro de uma margem praticável também é prova útil.
Passo 8
Conclusão e orientação prática para você na prova ou no trabalho: o resultado "não rejeitar
" sozinho NÃO garante forte evidência de que
nm. Para avaliar quão forte é a evidência você precisa de mais informações: valor-p, tamanho da amostra
, desvio
(ou
), o intervalo de confiança e/ou a potência do teste para detectar desvios relevantes. Se a aplicação exige provar que a média está “próxima o bastante” de
nm, proponha um teste de equivalência com uma margem
apropriada ou peça/gere um IC suficientemente estreito.
Resposta
Não — "não rejeitar
" não é prova de que
nm; é apenas que os dados não deram evidência suficiente contra
. A força da evidência depende do valor-p, do tamanho da amostra, do desvio (sinal-ruído) e da largura do intervalo de confiança; para afirmar igualdade prática use um teste de equivalência (TOST) ou um intervalo de confiança suficientemente estreito.