A semiconductor manufacturer collects data from a new tool and conducts a hypothesis test with the null hypothesis that a critical dimension mean width equals 100 nm . The conclusion is to not reject the null hypothesis. Does this result provide strong evidence that the critical dimension mean equals 100 nm ? Explain.

Passo 1

O enunciado diz que foi feita uma prova de hipótese com hipótese nula de que a média do comprimento crítico é 100 nm, isto é
H_0:\mu=100\\ \text{nm},
e que a conclusão do teste foi "não rejeitar H_0". A pergunta: isso fornece forte evidência de que a média crítica realmente é 100 nm?
Informações dadas: a decisão do teste foi "não rejeitar H_0". Não foram fornecidos valores de amostra (tamanho n, média amostral \bar{x}, desvio padrão s ou \sigma, nível de significância \alpha, valor-p, ou intervalo de confiança). Essas informações são relevantes mas o enunciado não as fornece.

Passo 2

Entendimento básico do que significa "não rejeitar H_0" (conceito essencial).
Quando fazemos um teste de hipótese clássico (por exemplo teste t ou z), definimos um nível de significância \alpha (por ex. 0{,}05). O teste calcula uma estatística a partir dos dados e um valor-p. Regra de decisão típica:
  • se o valor-p \le \alpha, rejeitamos H_0;
  • se o valor-p >\alpha, não rejeitamos H_0.
"Não rejeitar H_0" significa apenas que os dados não forneceram evidência estatística suficiente, ao nível \alpha, para declarar que \mu difere de 100 nm. Não é uma prova de que \mu=100 nm — é apenas falha em demonstrar diferença.

Passo 3

Expliquei o porquê em linguagem mais técnica (mas simples): ausência de evidência não é evidência de ausência.
Imagine que o verdadeiro \mu fosse 102 nm, mas sua amostra foi pequena ou muito ruidosa: o teste pode não detectar essa diferença e, portanto, não rejeitar H_0. Isso é um erro do tipo II (falhar em rejeitar H_0 quando H_0 é falsa). A probabilidade desse erro é chamada de \beta; a potência do teste é 1-\beta (probabilidade de detectar uma diferença quando ela existe).

Passo 4

Mostro as fórmulas e como normalmente o teste funciona (sem assumir que você conhece).
Se \sigma é conhecido, uma estatística z é
z=\frac{\bar{x}-100}{\sigma/\sqrt{n}},
onde \bar{x} = média amostral, \sigma = desvio padrão da população, n = tamanho da amostra.
Se \sigma é desconhecido (o caso comum), usamos a estatística t
t=\frac{\bar{x}-100}{s/\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral e t tem n-1 graus de liberdade.
A interpretação: quanto maior |\bar{x}-100| em relação ao erro padrão s/\sqrt{n}, mais evidência contra H_0.

Passo 5

Como avaliar “força da evidência” na prática — duas ferramentas úteis: valor-p e intervalo de confiança.
  • Valor-p pequeno (por ex. <0{,}01) = forte evidência contra H_0.
  • Valor-p moderado (por ex. entre 0{,}01 e 0{,}05) = alguma evidência.
  • Valor-p grande (por ex. >0{,}1) = fraca evidência contra H_0.
    Além disso, um intervalo de confiança (IC) para \mu dá uma faixa plausível de valores. Por exemplo, o IC de 95\% quando \sigma desconhecido é
\bar{x}\pm t_{n-1,\,0{,}975}\frac{s}{\sqrt{n}}.
Se esse IC é muito amplo (por exemplo, [95,\\\ 105] nm), incluir 100 nm não é surpreendente e não é forte evidência de que \mu é exatamente 100 nm. Se o IC for muito estreito e conter 100 nm (por exemplo, [99{,}9,\\\ 100{,}1] nm), então temos uma evidência muito mais forte de que \mu está muito próximo de 100 nm.

Passo 6

Dou um exemplo numérico didático para fixar a ideia (faça na prova se pedirem interpretação):
Exemplo A (fraca evidência): \bar{x}=101 nm, s=5 nm, n=5. Então
t=\frac{101-100}{5/\sqrt{5}}=\frac{1}{2{,}236}\approx0{,}447,
valor-p grande (muito maior que 0{,}05). IC de 95\%: t_{4,0{,}975}\approx2{,}776, margem =2{,}776\cdot 5/\sqrt{5}\approx6{,}2, IC [94{,}8,\\\ 107{,}2] nm — muito largo. Conclusão: não rejeitar H_0 aqui NÃO é forte evidência de que \mu=100 nm, porque os dados são imprecisos.
Exemplo B (evidência mais forte): \bar{x}=100{,}2 nm, s=2 nm, n=200. Então erro padrão =2/\sqrt{200}\approx0{,}141, t\approx1{,}42 (valor-p ainda pode ser >0{,}1), mas IC de 95\% tem margem \approx1{,}96\cdot0{,}141\approx0{,}276, IC [99{,}924,\\\ 100{,}476] nm — bem estreito e contendo 100. Nesse caso, não rejeitar H_0 combina com alta precisão: forte evidência de que \mu está bem próximo de 100 nm.

Passo 7

Quando você pode afirmar que a média “é igual” a 100 nm na prática (engenharia)?
  • Se seu objetivo é provar igualdade num sentido prático, o teste de hipótese padrão não é a ferramenta adequada para "aceitar H_0". Em vez disso, use um teste de equivalência (TOST — two one-sided tests) com uma margem de equivalência \Delta que você considere negligenciável (por exemplo \Delta=1 nm). No TOST você testa
H_{0}^{(1)}:\mu\le 100-\Delta\quad\text{e}\quad H_{0}^{(2)}:\mu\ge 100+\Delta,
e só aceita equivalência se rejeitar ambas hipóteses nulas separadas; isso permite concluir que \mu está dentro de (100-\Delta,\\\ 100+\Delta).
  • Alternativamente, um intervalo de confiança estreito que caiba dentro de uma margem praticável também é prova útil.

Passo 8

Conclusão e orientação prática para você na prova ou no trabalho: o resultado "não rejeitar H_0" sozinho NÃO garante forte evidência de que \mu=100 nm. Para avaliar quão forte é a evidência você precisa de mais informações: valor-p, tamanho da amostra n, desvio s (ou \sigma), o intervalo de confiança e/ou a potência do teste para detectar desvios relevantes. Se a aplicação exige provar que a média está “próxima o bastante” de 100 nm, proponha um teste de equivalência com uma margem \Delta apropriada ou peça/gere um IC suficientemente estreito.

Resposta

Não — "não rejeitar H_0" não é prova de que \mu=100 nm; é apenas que os dados não deram evidência suficiente contra H_0. A força da evidência depende do valor-p, do tamanho da amostra, do desvio (sinal-ruído) e da largura do intervalo de confiança; para afirmar igualdade prática use um teste de equivalência (TOST) ou um intervalo de confiança suficientemente estreito.

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