Uma bolha de ar com
de volume está no fundo de um lago com 40 m de profundidade, onde a temperatura é
. A bolha sobe até a superfície, que esta à temperatura de
. Considere a temperatura da bolha como sendo a mesma que a da água em volta. Qual é o volume da bolha no momento em que chega à superfície. (Dica: considere que
e que a pressão absoluta no fundo do lago é
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bolha de ar com volume inicial de
no fundo de um lago que tem 40 metros de profundidade. A água no fundo está a
e na superfície está a
. Queremos descobrir qual será o volume da bolha quando ela chegar à superfície. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura, e também considerar como a pressão varia com a profundidade no lago.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a pressão muda à medida que a bolha sobe. A pressão total a uma certa profundidade em um líquido é dada por:
Aqui:
- $ p_0 $ é a pressão atmosférica na superfície.
- $ \rho $ é a densidade da água.
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
- $ h $ é a profundidade.
Vamos calcular a pressão no fundo do lago e na superfície.
Passo 3
Sabemos que:
- $ p_0 = 1 , atm $ (pressão atmosférica padrão).
- $ \rho = 1000 , kg/m^3 $ (densidade da água).
- $ g = 9,8 , m/s^2 $.
- $ h = 40 , m $.
Vamos converter a pressão atmosférica para pascal para facilitar os cálculos:
Agora, calculamos a pressão no fundo do lago:
Passo 4
Na superfície, a pressão é apenas $ p_0 = 101325 , Pa $. Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais na forma:
Como a temperatura também muda, precisamos considerar isso no nosso cálculo. Vamos chamar os estados inicial (no fundo) e final (na superfície) de 1 e 2, respectivamente.
Passo 5
Escrevendo a relação para os dois estados:
Queremos encontrar $ V_2 $, o volume na superfície. Vamos rearranjar a equação:
Passo 6
Precisamos agora converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na equação:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 8
Primeiro, calculamos a relação das pressões:
Depois, a relação das temperaturas:
Passo 9
Multiplicando tudo junto:
Resposta
O volume da bolha quando ela chega à superfície é aproximadamente
.