(b) Calcule separadamente as contribuições da força repulsiva
e da força atrativa
para
e para
.
(Resposta em eVIA para ambas as distâncias)
(Resposta em eVIA para ambas as distâncias)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa questão que pede para calcular as contribuições da força repulsiva e da força atrativa em duas distâncias específicas: a distância de equilíbrio $ r_{eq} $ e $ r = 2.5 , Å $. Para isso, vamos usar as fórmulas dadas para $ F_{rep} $ e $ F_{atr} $. Precisamos entender um pouquinho sobre potenciais de interação entre partículas, especificamente o potencial de Lennard-Jones, que descreve como as partículas se repelem ou se atraem dependendo da distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas das forças:
Aqui, $ \epsilon $ é a profundidade do potencial, que indica a intensidade da interação, e $ \sigma $ é a distância na qual o potencial é zero, relacionada ao tamanho das partículas. Nosso objetivo é calcular essas forças para $ r = r_{eq} $ e $ r = 2.5 , Å $.
Passo 3
Vamos começar calculando para a distância de equilíbrio $ r_{eq} $. Na distância de equilíbrio, a força total é zero, ou seja, a força repulsiva cancela exatamente a força atrativa:
Substituindo as fórmulas:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre $ r_{eq} $ e $ \sigma $. Dividindo ambos os lados por $ 24\epsilon \left( \frac{\sigma}{r_{eq}} \right)^6 \frac{1}{r_{eq}} $:
Simplificando:
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos $ r_{eq} $ em termos de $ \sigma $, podemos calcular as forças $ F_{rep} $ e $ F_{atr} $ nessa distância. Vamos substituir $ r = r_{eq} = \sigma \times 2^{\frac{1}{6}} $ nas fórmulas das forças.
Primeiro, calculando $ \left( \frac{\sigma}{r_{eq}} \right)^{12} $:
Então, a força repulsiva fica:
Para a força atrativa $ F_{atr} $:
Então:
Passo 6
Como esperado, as forças são iguais em magnitude e opostas em sinal, cancelando-se na distância de equilíbrio:
Passo 7
Agora, vamos calcular as forças para $ r = 2.5 , Å $. Para isso, precisamos conhecer os valores de $ \epsilon $ e $ \sigma $. Supondo que $ \epsilon $ e $ \sigma $ sejam conhecidos, substituímos $ r = 2.5 , Å $ nas fórmulas das forças.
Primeiro, calculando $ \left( \frac{\sigma}{2.5} \right)^{12} $ e $ \left( \frac{\sigma}{2.5} \right)^6 $, após isso, multiplicamos pelos coeficientes e dividimos por $ r = 2.5 , Å $.
Por exemplo, supondo $ \epsilon = 0.0103 , eV $ e $ \sigma = 3.4 , Å $ (valores típicos para o argônio):
Resposta
As contribuições das forças são:
-
Na distância de equilíbrio $ r_{eq} $:
- Força Repulsiva: $ F_{rep} = 12\epsilon / r_{eq} , eV/Å $
- Força Atrativa: $ F_{atr} = -12\epsilon / r_{eq} , eV/Å $
-
Para $ r = 2.5 , Å $ (usando $ \epsilon = 0.0103 , eV $ e $ \sigma = 3.4 , Å $):
- Força Repulsiva: $ F_{rep} \approx 11.17 , eV/Å $
- Força Atrativa: $ F_{atr} \approx -0.744 , eV/Å $