(b) Calcule separadamente as contribuições da força repulsiva
F rep =48 epsilon(sigmar)^12 1r e da força atrativa F atr =-24 epsilon(sigmar)^6 1r para r=re q e para r=2.5 AA.
(Resposta em eVIA para ambas as distâncias)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa questão que pede para calcular as contribuições da força repulsiva e da força atrativa em duas distâncias específicas: a distância de equilíbrio $ r_{eq} $ e $ r = 2.5 , Å $. Para isso, vamos usar as fórmulas dadas para $ F_{rep} $ e $ F_{atr} $. Precisamos entender um pouquinho sobre potenciais de interação entre partículas, especificamente o potencial de Lennard-Jones, que descreve como as partículas se repelem ou se atraem dependendo da distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas das forças:
Frep = 48epsilon ( sigmar )^12 1r
Fatr = -24epsilon ( sigmar )^6 1r
Aqui, $ \epsilon $ é a profundidade do potencial, que indica a intensidade da interação, e $ \sigma $ é a distância na qual o potencial é zero, relacionada ao tamanho das partículas. Nosso objetivo é calcular essas forças para $ r = r_{eq} $ e $ r = 2.5 , Å $.

Passo 3

Vamos começar calculando para a distância de equilíbrio $ r_{eq} $. Na distância de equilíbrio, a força total é zero, ou seja, a força repulsiva cancela exatamente a força atrativa:
req
Substituindo as fórmulas:
Frep + Fatr = 0

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre $ r_{eq} $ e $ \sigma $. Dividindo ambos os lados por $ 24\epsilon \left( \frac{\sigma}{r_{eq}} \right)^6 \frac{1}{r_{eq}} $:
req
Simplificando:
sigma
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:
24epsilon ( sigmareq )^6 1req
Portanto:
2 ( sigmareq )^6 = 1

Passo 5

Agora que temos $ r_{eq} $ em termos de $ \sigma $, podemos calcular as forças $ F_{rep} $ e $ F_{atr} $ nessa distância. Vamos substituir $ r = r_{eq} = \sigma \times 2^{\frac{1}{6}} $ nas fórmulas das forças.
Primeiro, calculando $ \left( \frac{\sigma}{r_{eq}} \right)^{12} $:
req
Então, a força repulsiva fica:
sigma
Para a força atrativa $ F_{atr} $:
Frep
Então:
Fatr

Passo 6

Como esperado, as forças são iguais em magnitude e opostas em sinal, cancelando-se na distância de equilíbrio:
Frep + Fatr = 12epsilon times 1req - 12epsilon times 1req = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular as forças para $ r = 2.5 , Å $. Para isso, precisamos conhecer os valores de $ \epsilon $ e $ \sigma $. Supondo que $ \epsilon $ e $ \sigma $ sejam conhecidos, substituímos $ r = 2.5 , Å $ nas fórmulas das forças.
Primeiro, calculando $ \left( \frac{\sigma}{2.5} \right)^{12} $ e $ \left( \frac{\sigma}{2.5} \right)^6 $, após isso, multiplicamos pelos coeficientes e dividimos por $ r = 2.5 , Å $.
Por exemplo, supondo $ \epsilon = 0.0103 , eV $ e $ \sigma = 3.4 , Å $ (valores típicos para o argônio):
r = 2.5 , Å
epsilon
sigma Å
epsilon
sigma Å

Resposta

As contribuições das forças são:
  • Na distância de equilíbrio $ r_{eq} $:
    • Força Repulsiva: $ F_{rep} = 12\epsilon / r_{eq} , eV/Å $
    • Força Atrativa: $ F_{atr} = -12\epsilon / r_{eq} , eV/Å $
  • Para $ r = 2.5 , Å $ (usando $ \epsilon = 0.0103 , eV $ e $ \sigma = 3.4 , Å $):
    • Força Repulsiva: $ F_{rep} \approx 11.17 , eV/Å $
    • Força Atrativa: $ F_{atr} \approx -0.744 , eV/Å $

Exercícios relacionados