Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=\left(t^{3},-t^{3} / 3+4 t^{2}\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 \mathrm{~s} e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y_{\max } ) para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bolinha no plano como função do tempo e pede várias coisas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
r(t)=\left(t^{3},-\frac{t^{3}}{3}+4t^{2}\right),
onde r(t) está em metros e t em segundos.
Perguntas:
a) Calcular a velocidade \,v(t)\, e a aceleração \,a(t)\, em função de t.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 s e t=1 s.
c) Determinar o instante t>0 em que a bolinha alcança a altura máxima (isto é, o t do y_{\max}).
d) Calcular a altura máxima y_{\max}.
e) Determinar o instante em que a bolinha bate no solo ( y=0) e a posição onde isso acontece.

Passo 2

Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Para funções vetoriais, derivamos componente a componente. Se
r(t)=\big(x(t),\,y(t)\big),
então
v(t)=r'(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big).
Aplicando isso à posição dada. Primeiro escrevo as componentes em destaque:
x(t)=t^{3},\qquad y(t)=-\frac{t^{3}}{3}+4t^{2}.
Derivo cada termo (regra básica: \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{\,n-1} e derivada de constante multiplicativa passa fator):
x'(t)=3t^{2}.
Para y(t):
y'(t)=-\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}\right)+\frac{d}{dt}(4t^{2})=-t^{2}+8t.
Portanto a velocidade é
v(t)=\left(3t^{2},\,-t^{2}+8t\right).

Passo 3

Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
a(t)=v'(t)=r''(t)=\big(x''(t),\,y''(t)\big).
Derivando v(t)=\left(3t^{2},-t^{2}+8t\right) componente a componente:
x''(t)=6t,
y''(t)=-2t+8.
Logo a aceleração é
a(t)=\left(6t,\,-2t+8\right).

Passo 4

Agora a velocidade média entre t_{0}=0 e t_{1}=1 é definida por
\bar{v}=\frac{r(1)-r(0)}{1-0}=r(1)-r(0).
Calculo r(0) e r(1). Usando a posição dada:
r(0)=\left(0^{3},-\frac{0^{3}}{3}+4\cdot0^{2}\right)=(0,0).
r(1)=\left(1^{3},-\frac{1^{3}}{3}+4\cdot1^{2}\right)=\left(1,-\frac{1}{3}+4\right)=\left(1,\frac{11}{3}\right).
Portanto a velocidade média é
\bar{v}=r(1)-r(0)=\left(1,\frac{11}{3}\right)\\ \text{m/s}.

Passo 5

A aceleração média entre t=0 e t=1 pode ser obtida pelas velocidades:
\bar{a}=\frac{v(1)-v(0)}{1-0}=v(1)-v(0).
Calculo v(0) e v(1) usando v(t)=\left(3t^{2},-t^{2}+8t\right):
v(0)=\left(0,0\right),
v(1)=\left(3\cdot1^{2},-1^{2}+8\cdot1\right)=\left(3,7\right).
Logo a aceleração média é
\bar{a}=v(1)-v(0)=\left(3,7\right)\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 6

Para encontrar o instante em que a bolinha atinge a altura máxima (com t>0) — isto é o máximo da componente y(t) — usamos o fato de que no extremo a derivada de y é zero (condição necessária). Já temos y'(t)= -t^{2}+8t (veja Passo 2). Igualo a zero:
-t^{2}+8t=0.
Fatorando:
t(-t+8)=0.
As soluções são t=0 e t=8. Como pediram t>0, o candidato é t=8 s. Para confirmar que é máximo usamos a segunda derivada y''(t)=-2t+8 (veja Passo 3). Avaliando em t=8:
y''(8)=-2\cdot8+8=-16+8=-8<0,
portanto é um máximo local (e global no intervalo relevante). Assim o instante do máximo é
t_{\text{max}}=8\\ \text{s}.

Passo 7

Agora calculo a altura máxima y_{\max}=y(8). Uso a expressão de y(t):
y(8)=-\frac{8^{3}}{3}+4\cdot8^{2}.
Faço as contas passo a passo: 8^{3}=512 e 8^{2}=64. Então
y(8)=-\frac{512}{3}+4\cdot64=-\frac{512}{3}+256.
Coloco em mesmo denominador:
256=\frac{256\cdot3}{3}=\frac{768}{3},
então
y(8)=\frac{-512+768}{3}=\frac{256}{3}\\ \text{m}.
Como número decimal é aproximadamente 85{,}333 m, mas a forma exata \frac{256}{3} é preferível.

Passo 8

Finalmente, para achar quando a bolinha bate no solo resolvo y(t)=0. Escrevo:
y(t)=-\frac{t^{3}}{3}+4t^{2}=0.
Coloco em fator comum t^{2}:
t^{2}\left(-\frac{t}{3}+4\right)=0.
As soluções são t^{2}=0 dando t=0 (raiz dupla) e -\frac{t}{3}+4=0 que dá
-\frac{t}{3}+4=0\quad\Rightarrow\quad \frac{t}{3}=4\quad\Rightarrow\quad t=12\\ \text{s}.
Desprezando t=0 (início), o instante em que volta a bater no solo é t=12 s. Agora a posição nesse instante: x(t)=t^{3}, logo
x(12)=12^{3}=1728.
Portanto a posição é
r(12)=(1728,\,0)\\ \text{m}.

Resposta

a) \;v(t)=\left(3t^{2},\,-t^{2}+8t\right),\qquad a(t)=\left(6t,\,-2t+8\right).
b) \;\bar{v}=\left(1,\frac{11}{3}\right)\\ \text{m/s},\qquad \bar{a}=\left(3,7\right)\\ \text{m/s}^{2}.
c) \;t_{\text{do }y_{\max}}=8\\ \text{s}.
d) \;y_{\max}=\frac{256}{3}\\ \text{m}\\ (\approx85{,}333\\ \text{m}).
e) \;t_{\text{bate no solo}}=12\\ \text{s};\qquad r(12)=(1728,\,0)\\ \text{m}.

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