Uma bolinha move-se no plano e a sua posição (
em metros) em função do tempo (
em segundos) é descrita pela função vetorial
. Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
do
) para
.
d) A altura máxima alcançada (
).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
) e em que posição isso acontece.
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
d) A altura máxima alcançada (
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
Passo 1
O enunciado dá a posição da bolinha no plano como função do tempo e pede várias coisas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
onde
está em metros e
em segundos.
Perguntas:
a) Calcular a velocidade e a aceleração
em função de
.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre s e
s.
c) Determinar o instante em que a bolinha alcança a altura máxima (isto é, o
do
).
d) Calcular a altura máxima .
e) Determinar o instante em que a bolinha bate no solo ( ) e a posição onde isso acontece.
a) Calcular a velocidade
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre
c) Determinar o instante
d) Calcular a altura máxima
e) Determinar o instante em que a bolinha bate no solo (
Passo 2
Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Para funções vetoriais, derivamos componente a componente. Se
então
Aplicando isso à posição dada. Primeiro escrevo as componentes em destaque:
Derivo cada termo (regra básica:
e derivada de constante multiplicativa passa fator):
Para
:
Portanto a velocidade é
Passo 3
Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
Derivando
componente a componente:
Logo a aceleração é
Passo 4
Agora a velocidade média entre
e
é definida por
Calculo
e
. Usando a posição dada:
Portanto a velocidade média é
Passo 5
A aceleração média entre
e
pode ser obtida pelas velocidades:
Calculo
e
usando
:
Logo a aceleração média é
Passo 6
Para encontrar o instante em que a bolinha atinge a altura máxima (com
) — isto é o máximo da componente
— usamos o fato de que no extremo a derivada de
é zero (condição necessária). Já temos
(veja Passo 2). Igualo a zero:
Fatorando:
As soluções são
e
. Como pediram
, o candidato é
s. Para confirmar que é máximo usamos a segunda derivada
(veja Passo 3). Avaliando em
:
portanto é um máximo local (e global no intervalo relevante). Assim o instante do máximo é
Passo 7
Agora calculo a altura máxima
. Uso a expressão de
:
Faço as contas passo a passo:
e
. Então
Coloco em mesmo denominador:
então
Como número decimal é aproximadamente
m, mas a forma exata
é preferível.
Passo 8
Finalmente, para achar quando a bolinha bate no solo resolvo
. Escrevo:
Coloco em fator comum
:
As soluções são
dando
(raiz dupla) e
que dá
Desprezando
(início), o instante em que volta a bater no solo é
s. Agora a posição nesse instante:
, logo
Portanto a posição é
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)