Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 2 x). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá uma força boldsymbol F1=(y,2x) e pede o trabalho dessa força ao mover um objeto de boldsymbol r=(0,0) até boldsymbol r=(1,1) seguindo o caminho y=x^2. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e cálculo de trabalho.

Passo 2

Para aplicar a definição de trabalho
W=integralCboldsymbol F1cdot dboldsymbol r
precisamos parametrizar a curva Ccolon y=x^2. Uma parametrização natural é
boldsymbol r(t)=(t,,t^2), 0<= t<=1
Então
boldsymbol r'(t)=(1,,2t),
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dboldsymbol r=boldsymbol r'(t),dt=(1,,2t),dt

Passo 3

Expressamos a força ao longo da curva:
boldsymbol F1(boldsymbol r(t))=l(y,2xr)l|(x,y)=(t,t^2)=(t^2,,2t)
O produto interno que entra na integral é
boldsymbol F1(boldsymbol r(t))cdotboldsymbol r'(t) = t^2cdot1 + 2tcdot2t = t^2 + 4t^2 =5,t^2

Passo 4

Substituindo na integral de t=0 a t=1:
W=integral0^15,t^2,dt =[5,t^33]0^1 =53

Resposta

W=53

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