Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300^{\circ} \mathrm{F}. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200^{\circ} \mathrm{F}. A temperatura do ambiente externo é de 70^{\circ} \mathrm{F}. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até 100^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tempo que leva um bolo a resfriar de 300^\circ\mathrm{F} até 100^\circ\mathrm{F} num ambiente de 70^\circ\mathrm{F}. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, cuja solução geral é
T(t) = T_s + \bigl(T_0 - T_s\bigr)e^{-k t},
onde T_s é a temperatura do ambiente, T_0 é a temperatura inicial do corpo e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 2

Usando o dado de que em t=3 minutos a temperatura passa a 200^\circ\mathrm{F}, temos
200 = 70 + (300 - 70)e^{-3k}
ou seja
200 = 70 + 230\,e^{-3k} \quad\Longrightarrow\quad 130 = 230\,e^{-3k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-3k} = \frac{130}{230} = \frac{13}{23}.
Aplicando logaritmo natural,
-3k = \ln\!\bigl(\tfrac{13}{23}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\,\ln\!\bigl(\tfrac{13}{23}\bigr).

Passo 3

Para achar o tempo t em que T(t)=100^\circ\mathrm{F}, escrevemos
100 = 70 + 230\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad 30 = 230\,e^{-k t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t} = \frac{30}{230} = \frac{3}{23}.
Tomando logaritmo,
-k t = \ln\!\bigl(\tfrac{3}{23}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\,\ln\!\bigl(\tfrac{3}{23}\bigr).

Passo 4

Substituindo k = -\tfrac{1}{3}\ln\!(\tfrac{13}{23}) em t,
t = -3\,\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{3}{23}\bigr)}{\ln\!\bigl(\tfrac{13}{23}\bigr)} \approx -3\,\frac{-2{,}0369}{-0{,}5704} \approx 10{,}7\\ \text{minutos}.

Resposta

O bolo levará aproximadamente 10{,}7 minutos para resfriar até 100^\circ\mathrm{F}.

Exercícios relacionados