Questão 1.Calcule, se existirem, os seguintes limites ou mostre que eles não existem, caso contrário
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x-3}
e
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\sin (x)-\frac{1}{2}}{\sin ^{2}(x)-\frac{1}{4}}

Passo 1

O enunciado pede dois limites:
L_1 = \lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3}, \qquad L_2 = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\sin(x)-\tfrac12}{\sin^2(x)-\tfrac14}.
O conteúdo envolve fatoração de polinômios no primeiro caso e fatoração de expressão trigonométrica (diferença de quadrados) no segundo.

Passo 2

Para calcular
L_1 = \lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3},
fazemos a fatoração do numerador usando a soma de cubos invertida:
x^3-27 = (x-3)\bigl(x^2+3x+9\bigr).
Em x\neq3 podemos simplificar (x-3), ficando
\frac{x^3-27}{x-3} = x^2+3x+9.
Logo
L_1 = \lim_{x\to3}(x^2+3x+9) = 3^2 + 3\cdot3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27.

Passo 3

Para calcular
L_2 = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\sin(x)-\tfrac12}{\sin^2(x)-\tfrac14},
observamos que
\sin^2(x)-\tfrac14 = \bigl(\sin(x)-\tfrac12\bigr)\bigl(\sin(x)+\tfrac12\bigr).
Em x\neq\frac{\pi}{6} simplificamos o fator comum \sin(x)-\tfrac12, obtendo
\frac{\sin(x)-\tfrac12}{\sin^2(x)-\tfrac14} = \frac{1}{\sin(x)+\tfrac12}.
Assim
L_2 = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{1}{\sin(x)+\tfrac12} = \frac{1}{\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+\tfrac12} = \frac{1}{\tfrac12 + \tfrac12} = 1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3} = 27. \displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\sin(x)-\tfrac12}{\sin^2(x)-\tfrac14} = 1.

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