Resolva as desigualdades:
\frac{x+1}{x-2}<\frac{x}{3+x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\frac{x+1}{x-2} < \frac{x}{x+3}.
O conteúdo é resolução de inequações racionais, e vamos precisar determinar o domínio, reduzir tudo a um único quociente e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio: devemos ter x-2\neq0 e x+3\neq0, ou seja
x\neq2,\quad x\neq -3.
Em seguida colocamos tudo num único lado:
\frac{x+1}{x-2} - \frac{x}{x+3} < 0.
O denominador comum é (x-2)(x+3), então escrevemos
\frac{(x+1)(x+3) - x(x-2)}{(x-2)(x+3)} < 0.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
(x+1)(x+3) = x^2 +4x+3, \quad x(x-2) = x^2 -2x,
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(x+1)(x+3) - x(x-2) = (x^2+4x+3) - (x^2 -2x) = 6x +3 = 3(2x+1).
A inequação fica
\frac{3(2x+1)}{(x-2)(x+3)} < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2x+1}{(x-2)(x+3)} < 0,
pois o factor 3 é positivo e não altera o sinal.

Passo 4

Os pontos críticos são as raízes do numerador e as raízes do denominador:
2x+1=0 \;\Rightarrow\; x=-\tfrac12, \quad x-2=0\;\Rightarrow\; x=2, \quad x+3=0\;\Rightarrow\; x=-3.
Montamos o quadro de sinais para \frac{2x+1}{(x-2)(x+3)}:
Intervalo | x<-3 | -3<x<-\tfrac12 | -\tfrac12<x<2 | x>2
-----------------|---------|--------------------|------------------|-------- 2x+1 | – | – | + | + (x-2)(x+3) | + | – | – | +
Quociente | – | + | – | +
Procuramos onde é negativo <0, que ocorre em x<-3 e em -\tfrac12<x<2.

Passo 5

Concluímos que a solução da inequação, excluindo os pontos onde o denominador se anula e nunca incluindo o zero do numerador por ser estrita, é
(-\infty,-3)\,\cup\,\bigl(-\tfrac12,2\bigr).

Resposta

(-\infty,-3)\cup\bigl(-\tfrac12,2\bigr).

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